encontrar la relación de dos integraciones definidas

Question

Si $\displaystyle A = \int^{1}_{0}x^{\frac{7}{2}}(1-x)^{\frac{5}{2}}dx$ y $\displaystyle B = \int^{1}_{0}\frac{x^{\frac{3}{2}}(1-x)^{\frac{7}{2}}}{(x+3)^8}dx\;,$ entonces el valor de $AB^{-1} = $

Intento: he intentado utilizar la función gamma $\displaystyle \int^{1}_{0}x^m(1-x)^ndx = \frac{(m-1)!\cdot (n-1)!}{(m+n-1)!}$

así que $\displaystyle A=\int^{1}_{0}x^{\frac{7}{2}}(1-x)^{\frac{5}{2}}dx = \int^{1}_{0}x^{\frac{5}{2}}(1-x)^{\frac{7}{2}}dx = \frac{(\frac{3}{2})!\cdot (\frac{5}{2})!}{5!}$

Quiero ir más allá, ¿podría alguien ayudarme?

Answer 1

Primero demostramos un resultado : $F(a,b,p)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{a-1}(1-x)^{b -1}}{(x+p)^{a+b}}\,dx = \left(\frac{\beta(a,b)}{p^b(1+p)^a}\right) \\$

Prueba : Comenzamos con la integral $\displaystyle \beta(a,b) = \int\limits_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1}\; dx \\$

La sustitución $y = \dfrac{(p+1)x}{p+x}$ es bastante sencillo y da el resultado,

$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{a-1}(1-x)^{b -1}}{(x+p)^{a+b}}\,dx = \left(\frac{\beta(a,b)}{p^b(1+p)^a}\right) \\$

Ahora la segunda integral es $\displaystyle \int\limits_0^1 \dfrac{x^\frac{3}{2}(1-x)^\frac{7}{2}}{(x+3)^8}\; dx \\ = \dfrac{1}{3}\left(\int\limits_0^1 \dfrac{x^\frac{3}{2}(1-x)^\frac{7}{2}}{(x+3)^8}\;(x+3-x)\; dx\right) \\= \dfrac{1}{3}\left(F(5/2,9/2,3)-F(7/2,9/2,3)\right)\\ = \dfrac{17\pi}{21233664\sqrt{3}}\\$

Esto es lo que necesitábamos y puedes continuar desde aquí. De hecho la proporción es $\dfrac{51840\sqrt{3}}{17}$