La suma de números siendo cuadrados inesperados

Question

Tenemos el siguiente resultado:

Si $a$ , $b$ y $c$ son números enteros coprimos, tales que

$$\frac 1a+\frac 1b=\frac 1c$$

entonces $a+b$ , $a-c$ y $b-c$ son cuadrados perfectos.

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Lo que hice.

Primero intenté demostrar que $a+b$ es un cuadrado perfecto.

Multiplicando por $abc$ obtenemos

$$c(a+b)=ab.$$

Desde $a$ y $c$ son coprimos, obtenemos por el lema de Gauss que

$$a\mid a+b.$$

Simétricamente,

$$b\mid a+b.$$

Desde $a$ y $b$ son coprimos,

$$ab\mid a+b.$$

Pero obviamente tenemos $a+b\mid ab$ Así que

$$a+b=ab$$

y $c=1$ .

Creo que esto implicaría $a=b=2$ lo cual es absurdo ya que $a$ y $b$ son coprimos...

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La pregunta. ¿Esto va a alguna parte? ¿Qué más podría hacer?

Answer 1

La ecuación $\frac1a+ \frac1b = \frac1c$ equivale a $ab=c(a+b) \implies (a−c)(b−c)=c^2$ .

Desde $a,b,c$ son enteros positivos, ${1\over{a}}<{1\over{c}}$ y ${1\over{b}}<{1\over{c}}$ . Por lo tanto, $a>c$ y $b>c$ . Para cada par de enteros $x,y $ satisfaciendo $xy=c^2$ obtenemos $a−c=x$ , $b−c=y$ .

$\gcd(a,b) = 1$ por lo que si un primo $p$ divide ambos $x,y$ tenemos $p$ dividiendo ambos $a,b$ por lo tanto $\gcd(x,y) = 1$ . Y como $xy=c^2$ tenemos individualmente $x = z_1^2$ y $y= z_2^2$ .

$a−c=x$ , $b−c=y$ . Así, $a+b = 2c +x+y = (z_1+z_2)^2$ . Por lo tanto, $a+b$ es un cuadrado prefecto.

Además, también hemos demostrado que $a-c$ y $b-c$ son cuadrados perfectos.