Por ejemplo $S_t = S_0\cdot \exp(\sigma W^*_t - 0.5\sigma^2t)$ es la martingala (es una parte de Black-Scholes).
Es $\ln S_t$ ¿una martingala?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
$$ln(S_t)=ln(S_0)-0.5\sigma^2 t + \sigma W^{*}_t$$
Cuando se observa lo anterior, se ve el proceso $ln(S_t)$ tiene una deriva $-0.5\sigma^2 t$ por lo que no es posible que sea una martingala. Sólo tomando la expectativa vemos que:
$$\mathbb{E}[ln(S_t)]=ln(S_0)-0.5\sigma^2 t$$
Por otro lado, cuando exponenciamos, la expectativa se centra en el valor inicial (debido a la propiedad de la media de la variable aleatoria distribuida lognormalmente):
$$\mathbb{E}[S_t]=\mathbb{E}[S_0e^{-0.5\sigma^2 t + \sigma W^{*}_t}]=S_0$$
¡Así que lo anterior parece un candidato de Martingala mucho más plausible!
En general, intuitivamente, si ves un proceso con una deriva (determinista), no es posible que sea una Martingala porque sus futuros valores esperados no estarán centrados en el valor "actual".
