Demostrar que $\bigcap_{x\in\mathbb R}[3 - x^2, 5 + x^2]$ está contenida en $[3,5]$ .
Por contradicción: Supongamos que $\bigcap_{x\in\mathbb R}[3 - x^2, 5 + x^2]$ no está contenida en $[3,5]$ . Por lo tanto, existe $a$ tal que $a$ es un elemento de $\bigcap_{x\in\mathbb R}[3 - x^2, 5 + x^2]$ pero $a$ no es un elemento de $[3,5]$ Así que $a < 3$ o $a > 5$ . Utilizando $a < 3$ sabemos que hay un número racional $b > 0$ tal que $a = 3-b$ .
No sé a dónde ir para conseguir una contradicción.
Es más fácil probarlo directamente. Elija cualquier $a \in \bigcap_{x \in \mathbb R} [3 - x^2, 5 + x^2]$ . Queremos demostrar que $a \in [3, 5]$ . Pero como $a$ pertenece a cada intervalo de la forma $[3 - x^2, 5 + x^2]$ sabemos en particular que debe pertenecer al intervalo obtenido dejando que $x = 0$ . Así que $a \in [3, 5]$ , según se desee.
Así que si $a < 3$ demostrar que existe un $x$ para que $a < 3-x^2$ . Eso demostraría que $a \not \in \cap [3-x^2, 5+x^2]$ .
Si $a > 5$ demostrar que existe un $x$ para que $5+x^2 < a$ . Eso demostraría que $a \not \in \cap [3-x^2, 5+x^2]$
Para demostrar lo primero. Si $a < 3$ entonces $3- a > 0$ . ¿Has demostrado ya que existen raíces cuadradas positivas para cada número real positivo? Si es así deja que $x <\sqrt{3 -a}$ así que $3 - x^2 > 3 - (\sqrt{3 -a })^2 = a$ . Pero si no has demostrado que dejas $0 < x < \min(3-a, 1)$ . Desde $x < 1$ , $x^2 < x$ . así que $x^2 < 3-a$ y $3 - x^2 > 3-(3-a) = a$ .
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