Cuántas formas de organizar a 15 personas en torno a 3 mesas circulares con capacidad para 5 personas cada una

Question

He visto preguntas en las que te hará arreglar $N$ personas en $2$ mesas con $N\over 2$ gente sentada en ellos. La respuesta suele ser $$\binom{N} {\frac{N}{2}} \cdot \left(\frac{N}{2} - 1\right)! \cdot \left(\frac{N}{2} - 1\right)!$$ Porque con dos mesas que tienen la mitad del número total de personas en cada una, sabemos qué personas hay en ambas mesas simplemente conociendo a las personas de $1$ Entonces simplemente multiplicamos por todos los arreglos posibles en cada uno de ellos.

En una situación en la que al conocer a una de las mesas de personas seguimos sin conocer a las demás ( $3$ tablas o más) tenemos que multiplicar por otra $\binom{N}{K}$ ?

Por ejemplo, con $15$ personas en $3$ diferentes mesas cada una de ellas $5$ personas, es el número de combinaciones de asientos igual a:

$$\binom{15}{5} \binom{10}{5}(4!)^3$$

¿Y podríamos tomar esta respuesta y dividirla por 3! para eliminar todas las situaciones en las que todos los arreglos son iguales pero sólo en diferentes mesas?

Answer 1

Creo que tu cálculo es correcto.

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He aquí una forma alternativa de abordar este problema que creo que es un poco más sencilla.

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Para el caso de dos mesas: Si se numeran todos los asientos, entonces hay $N!$ formas de sentar a todo el mundo. Entonces, dividimos por $(N/2)^2$ para tener en cuenta el sobreconteo debido a la simetría en cada mesa (no consideramos que las rotaciones de un arreglo en una mesa sean diferentes). Tenga en cuenta que esto es lo mismo que su cálculo.

$$\binom{N}{N/2}(N/2-1)! (N/2-1)! = \frac{N!}{(N/2)! (N/2)!}(N/2-1)! (N/2-1)! = \frac{N!}{(N/2)^2}$$

Tenga en cuenta que asumo que las dos tablas son distinguibles; si no lo son, basta con dividir todo por $2$ .

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Para su ejemplo de tres mesas, podemos hacer lo mismo: hay $15!$ maneras de sentar a todo el mundo si etiquetamos todas las sillas, y entonces tenemos que dividir por $5^3$ para tener en cuenta la simetría en cada mesa. Esto da el mismo número que tu cálculo.

$$\binom{15}{5} \binom{10}{5} (4!)^3 = \frac{15!}{5! 10!} \frac{10!}{5!5!} (4!)^3 = \frac{15!}{(5!)^3}(4!)^3 = \frac{15!}{5^3}.$$

Una vez más, este cálculo se realiza si las tablas son distinguibles; en caso contrario, se divide todo por $3!$ .

Answer 2

Utilizando la fórmula $\dfrac{n!}{n}$ aquí, en lugar de $(n-1)!$ para asientos circulares simplifica enormemente .

Permitir el $15$ personas de forma lineal en $15!$ con separadores después de cada $5$ personas para $3$ mesas.

Dividir por $5^3$ para que las tablas sean circulares.

Suponiendo tablas distinguibles, se llega directamente a $\dfrac{15!}{5^3}$

Y si las tablas son indistintas, basta con dividir la respuesta anterior por $3!$

Answer 3

Hay dos maneras de plantear este problema.

Problema tipo 1 - Las mesas no están etiquetadas como mesa 1,2,3 y lo único que le preocupa es qué personas están sentadas juntas en una mesa, es decir, las personas P1,P2,P3,P4,P5 están juntas en la mesa 1, las personas P6,P7,P8,P9,P10 están juntas en la mesa 2 y las personas P11,P12,P13,P14,P15 están en la mesa 3 se considera la MISMA configuración si estos grupos de personas estuvieran sentados en las mesas 2,1,3 en lugar de las mesas 1,2,3.

En este caso la respuesta es (15c5)(10c5)(4!)^3 -

• Seleccione 5 personas de 15 para sentarse en una mesa - 15C5
• Seleccione 5 de los 10 restantes - 10C5
• Sienta a estos grupos de 5 indistintamente en las tres mesas circulares - ¡4!

Segundo tipo de problema - Importa en qué mesas están sentados. Entonces-

• Seleccione 5 personas de 15 para sentarse en una mesa - 15C5
• Seleccione en la mesa para estas 5 personas - 3C1
• Seleccione 5 de los 10 restantes - 10C5
• Seleccione 1 mesa de las 2 restantes para estas 5 personas - 2C1
• Sienta a estos grupos de 5 indpendientes en las tres mesas circulares - ¡4! Así que la respuesta en este caso es (15c5)(3C1)(10c5)(2C1)(4!)^3

Al final, no es necesario dividir por el 3. ¡Espero que este desglose de la lógica ayude!