Terminología para una noción de "categorías parametrizadas por otra categoría (monoidal simétrica)"

Question

Considere la categoría $Space(G)$ de $G$ -espacios. Para $H\subset G$ existe un functor de olvido de $Space(G)$ a $Space(H)$ . Además, para un objeto $X$ en $Space(G)$ y otro objeto $X'$ en $Space(G')$ , $X\times X'$ está en $Space(G\times G')$ .

Considere también la categoría de $Mod(G)$ de módulos sobre $H_G(pt)$ . Para $H\subset G$ existe un functor de olvido de $Mod(G)$ a $Mod(H)$ . También para un módulo $M$ en $Mod(G)$ y otro módulo $M'$ en $Mod(G')$ , $M\otimes_{\mathbb{Z}} M'$ está en $Mod(G\times G')$ .

Mi pregunta es si existe una terminología establecida para las categorías $C(G)$ parametrizado por un grupo $G$ que satisfacen los axiomas que abstraen los anteriores:

• Para $H\subset G$ existe un functor de olvido de $C(G)$ a $C(H)$
• Para $G$ , $G'$ existe un "functor de multiplicación" de $C(G)\times C(G')$ a $C(G\times G')$

satisfaciendo varias relaciones. El functor de cohomología equivariante $H_G: Space(G) \to Mod(G)$ es compatible con estas dos operaciones. ¿Existe una terminología para tal functor?

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Actualización: Reflexionando más sobre ello, creo que es mejor formular el concepto como "categorías $\mathcal{C}$ parametrizada contravariantemente por otra categoría monoidal (simétrica) $\mathcal{X}$ ", es decir

• para un objeto $X$ en $\mathcal{X}$ hay una categoría $\mathcal{C}(X)$
• para un morfismo $f:X\to Y$ entre objetos en $\mathcal{X}$ existe un functor $f:\mathcal{C}(Y)\to\mathcal{C}(X)$
• para un objeto $X$ y $Y$ con su producto $X\times Y$ en $\mathcal{X}$ existe un functor de multiplicación que define, por $o_1\in \mathcal{C}(X)$ y $o_2\in\mathcal{C}(Y)$ , un objeto $o_1\times o_2 \in \mathcal{C}(X\times Y)$ .

Answer 1

Zhen tiene razón en que se puede pensar en él como un pseudofuntor monoidal laxo. En este documento llamé a una estructura equivalente "fibración monoidal".