Cómo ampliar la función continua de $S^1\to S^1$ a $D^2\to D^2$ continuamente

Question

Dejemos que $f:S^1\to S^1$ es el mapa continuo, entonces tengo que demostrar que existe una extensión continua $\bar f$ de f tal que $\bar f:D^2\to D^2 $ es un mapa continuo donde $D^2$ es un disco cerrado en $\mathbb R^2$

Tuve la siguiente idea.

podemos mapear origen a origen.entonces supongamos que hay un rayo que emana del origen a algún punto a, su imagen es el rayo que emana del origen a f(a) y lo mismo seguirá.

Pero no pude escribir la forma explícita de la función.

¿Es correcta mi idea? ¿Puede alguien ayudarme a escribir explícitamente el mapa?

Cualquier ayuda será apreciada

Answer 1

Podría ser más fácil utilizar coordenadas polares. Pensamos en $f$ como una función periódica continua $f(\theta)$ definido en $\mathbb{R}$ (o $[0,2\pi]$ ). A continuación, se define una función sobre $D^2$ por $$\overline{f}(r,\theta)=rf(\theta)$$ donde $0<r\leq 1$ y $0\leq\theta \leq 2\pi$ . También se define en el origen por $\overline{f}(0)=0$ .

Answer 2

$D^2$ es el cono de $S^1$ es decir, es homeomorfo al cociente de $S^1\times [0,1]$ donde te derrumbas $S^1\times \{0\}$ a un solo punto, y en este modelo la inclusión $S^1\to D^2$ es sólo la inclusión $S^1\to S^1\times \{1\}$ .

Esto proporciona una forma sencilla de ampliar estos mapas: escribir un elemento de $D^2$ como $r z$ con $z\in S^1, r\in [0,1]$ y definir $\overline{f}(rz) := rf(z)$ .

Si no conoces el homeomorfismo anterior, puedes intentar demostrarlo, o puedes comprobar la continuidad a mano, no es difícil.