¿Puede caracterizarse una Multinomial(1/n, ..., 1/n) como una Dirichlet(1, .., 1) discretizada?

Question

Así que esta pregunta es un poco confusa, ¡pero incluiré gráficos de colores para compensar! Primero los antecedentes y luego la(s) pregunta(s).

Antecedentes

Digamos que tienes un $n$ -distribución multinomial con probailidades iguales sobre el $n$ categorías. Sea $\pi = (\pi_1, \ldots, \pi_n)$ sean los recuentos normalizados ( $c$ ) de esa distribución, es decir:

$$(c_1, \ldots, c_n) \sim \text{Multinomial}(1/n, \ldots, 1/n) \\ \pi_i = {c_i \over n}$$

Ahora la distribución sobre $\pi$ tiene soporte sobre el $n$ -simple pero con pasos discretos. Por ejemplo, con $n = 3$ esta distribución tienen el siguiente soporte (los puntos rojos):

Otra distribución con un soporte similar es el $n$ -dimensional $\text{Dirichlet}(1, \ldots, 1)$ es decir, una distribución uniforme sobre la unidad simple. Por ejemplo, aquí están las extracciones aleatorias de un 3-dimesional $\text{Dirichlet}(1, 1, 1)$ :

Ahora tenía la idea de que la distribución de $\pi$ de la $\text{Multinomial}(1/n, \ldots, 1/n)$ se podría caracterizar como extracciones de una $\text{Dirichlet}(1, \ldots, 1)$ que se discretizan al soporte discreto de $\pi$ . La discretización que tenía en mente (y que parece funcionar bien) es tomar cada punto del simplex y "redondearlo" al punto más cercano que esté en el soporte de $\pi$ . Para el simplex tridimensional se obtiene la siguiente partición en la que los puntos de cada zona coloreada deben "redondearse" al punto rojo más cercano:

Como la distribución de Dirichlet es uniforme, la densidad/probabilidad resultante para cada uno de los puntos es proporcional al área/volumen que se "redondea" a cada punto. Para los casos bidimensional y tridimensional estas probabilidades son:

( estas probabilidades provienen de simulaciones de Monte Carlo )

Así que parece que, al menos para 2 y 3 dimensiones, la distribución de probabilidad resultante de discretizar $\text{Dirichlet}(1, \ldots, 1)$ de esta manera particular es la misma que la distribución de probabilidad para $\pi$ . Este es el resultado normalizado de un $\text{Multinomial}(1/n, \ldots, 1/n)$ distribución. También he probado con 4 dimensiones y parece que allí también funciona.

Pregunta(s)

Así que mi pregunta principal es:

Al discretizar un Dirichlet uniforme de esta manera particular, ¿la relación con un $\text{Multinomial}(1/n, \ldots, 1/n)$ ¿se mantiene para otras dimensiones? ¿Se mantiene la relación en absoluto? (Sólo lo he intentado con la simulación de Montecarlo...)

Además me pregunto:

• Si esta relación se mantiene, ¿es un resultado conocido? ¿Y hay alguna fuente que pueda citar para esto?
• Si esta discretización de un Dirichlet uniforme no tiene esta relación con la Multinomial. ¿Hay alguna construcción similar que la tenga?

Un poco de contexto

El motivo de mi pregunta es que estoy estudiando la similitud entre el Bootstrap no paramétrico y el Bootstrap bayesiano, y entonces surgió esto. También me he dado cuenta de que el patrón de las zonas coloreadas en el simplex de 3 dimesiones de arriba se parece (y debería ser) un diagrama de Voronoi. Una forma (espero) de pensar en esto es como una secuencia de Triángulo de Pascal/Simpex ( http://www.math.rutgers.edu/~erowland/pascalssimplices.html ). Donde el tamaño de las áreas coloreadas sigue la segunda fila del triángulo de Pascal en el caso 2-d, la tercera fila del tetraedro de Pascal en el caso 3-d, y así sucesivamente. Esto explicaría la conexión con la distribución multinomial, pero aquí estoy realmente en aguas profundas...