$\newcommand{\hom}{\mathsf{Hom}}\newcommand{\fd}{\mathsf{FDVect_k}}$ No estoy seguro de que sea la "motivación principal" en términos modernos, pero como nota histórica creo que Eilenberg y McLane sintieron primero la necesidad de definir la naturalidad, lo que impulsó una definición de functor y luego de categoría.
De todos modos, consideremos una clase de flechas candidatas $\alpha_A:F(A)\to G(A)$ donde $F,G$ son funtores y $A$ objetos en su dominio común. Supongamos que $\alpha$ tiene alguna "elección arbitraria" en su definición, por ejemplo su definición se basó en un elemento particular de $A$ (si $A$ es un conjunto). Moralmente esto es antinatural. Categóricamente, es extremadamente improbable que esta elección arbitraria resista la inspección cuando se pasa por el cuadrado conmutativo: para cada flecha $f:A\to B$ , para cualquier otros $B$ exigimos que $\alpha_B\circ F(f)=G(f)\circ\alpha_A$ . No sólo eso, sino que lo exigimos para todos $A$ también. ¿Por qué es extremadamente improbable? Pues bien, suponiendo, en aras de la claridad, que los objetos son conjuntos y que la elección arbitraria implica algunos elementos de estos conjuntos elegidos arbitrariamente (por ejemplo, el isomorfismo entre $V$ y $V^\ast$ , $V$ un espacio vectorial de dimensión finita, no es natural ya que necesitamos escoger una base arbitraria (=elemento del conjunto) para construir este isomorfismo), entonces me sería muy fácil construir una flecha de contraejemplo $f:A\to B$ que jugó con esta elección arbitraria, para hacer el cuadrado no conmutativo, a menos que $F,G$ eran funtores extremadamente triviales o similares.
El axioma de naturalidad también significa que sólo hay una flecha que se puede construir como compuesta (la diagonal del cuadrado). Si esto no se cumpliera, los cálculos serían más difíciles, pero también tendrías que sentarte y preocuparte por qué ruta es la mejor . Esto es insatisfactorio y una señal de alarma de que el enfoque que se está adoptando podría no funcionar, o no tener tanto sentido, sobre todo porque no se puede tomar esta decisión en el caso abstracto. No deberíamos tener que tomar esta decisión, y hay claras ventajas de no tener que preocuparse por esto frente a tener que preocuparse por esta (molesta) discrepancia.
Soy nuevo en la teoría de las categorías, pero esta es mi opinión. Exigir que el cuadrado conmute siempre es A) excepcionalmente útil en las pruebas y los cálculos, y B) elimina esencialmente la posibilidad de las flechas $\alpha_A$ teniendo una elección arbitraria (el espacio de contraejemplos es potencialmente enorme en caso contrario). Nos preocupamos por eliminar la elección arbitraria en la teoría de categorías y en las matemáticas en general, porque si podemos hacer algo sin ella, eso sugiere un vínculo más profundo, y si una prueba se basa en una elección arbitraria se podría decir que es "insatisfactoria" o no tan significativa. Por ejemplo, podría preocuparse si hiciera una mala elección, de alguna manera.
A propósito de su ejemplo isomorfismo natural:
Dejemos que $k$ sea un campo cualquiera y $\sf{FDVect_k}$ la categoría de dimensión finita $k$ -y los mapas lineales entre ellos.
Sí, tus flechas $(\eta_V)_{V\in\fd}:V\to V^\ast$ definen un isomorfismo natural $\eta:1_\fd\to F$ . Sin embargo, hay una complicación molesta - $F$ no es "natural" y nadie lo llamaría "functor dual". ¿Por qué? Bueno,... su definición contiene una elección arbitraria :) Esto puede parecer muy circular. Para aclararlo, $V\simeq V^{\ast\ast}$ se considera un isomorfismo natural ya que existe un isomorfismo natural $1_\fd\to(\cdot)^{\ast\ast}$ donde $(\cdot)^{\ast\ast}$ es el functor bidual, que tiene un estándar, ampliamente aceptado y sobre todo natural definición. La teoría de las categorías no tiene un lenguaje, al parecer, para caracterizar la naturalidad de nuestras propias elecciones de funtores estándar aquí, pero $(\cdot)^{\ast\ast}$ es realmente la única definición "razonable" de un functor bidual. Así, si $F$ no es "una buena elección" de functor dual, ¿qué lo es?
De manera más general, arreglar $W\in\mathsf{FDVect_k}$ . Definir $\hom(\cdot,W):\fd^{\color{red}{\text{op}}}\to\fd$ por el mapa de objetos: $$V\mapsto\hom(V,W):=\fd(V,W):=\{T:V\to W,\,T\text{ is a linear map}\}$$ Porque este nuevo conjunto $\hom(V,W)$ es a su vez un espacio vectorial con una estructura lineal canónica definida puntualmente. El mapa de flechas se define por: $$(f:V_1\to V_2)\mapsto(f^\ast:\hom(V_2,W)\to\hom(V_1,W))\\f^\ast(g)=g\circ f$$ A partir de esto es bueno tratar de entender por qué $\hom$ debe definirse en la categoría dual, la categoría opuesta. Es de esperar que quede claro que esta es una forma natural de mapear las flechas, y que realmente no hay otra forma de hacerlo.
Si se fija $W=k$ el espacio vectorial unidimensional sobre sí mismo, definimos $(\cdot)^\ast:=\hom(\cdot,k)$ desde $\hom(V,k)=V^\ast$ . En este caso, puede que recuerdes del álgebra lineal que toda matriz tiene una transposición. En realidad, puedes recordar de los espacios duales que la transposición de un mapa lineal $T:V\to W$ se define realmente como un mapa $T^t:W^\ast\to V^\ast$ . Aquí, $T^t=(\cdot)^\ast(T)=\hom(\cdot,k)(T)$ una bonita conexión y, con suerte, un estímulo en la naturalidad de este functor dual $(\cdot)^\ast$ . Esto es el functor dual, la definición estándar utilizada. Obsérvese que es imposible que exista un isomorfismo natural $\eta:1_\fd\to(\cdot)^\ast$ ya que tienen dominios diferentes. Y, dada la posibilidad de elegir entre $(\cdot)^\ast$ o su (arbitrario) $F$ la mayoría (si no todos) de los matemáticos dirían $(\cdot)^\ast$ es "la opción más natural". Si inspeccionamos cómo su $\eta$ funcionaría realmente, vemos $F$ La construcción de la empresa necesita un montón de negocios de axiomas de elección para hacerla definida, y esto es bastante no constructivo y es imposible calcular nada en general.
Para subrayar, el hecho de que los matemáticos digan " $V$ no es naturalmente isomorfo a $V^\ast$ "Esto es lo que quieren decir: $\eta:1_\fd\to(\cdot)^\ast$ no existe. Eso no significa que no haya otros isomorfismos naturales que impliquen $V$ y $V^\ast$ Sólo significa que los isomorfismos que hay no son isomorfismos de nada que consideremos realmente.
El functor bidual se define como $(\cdot)^\ast\circ(\cdot)^\ast$ . Es un bonito ejercicio demostrar que el famoso isomorfismo natural de $V$ y $V^{\ast\ast}$ realmente es un isomorfismo natural $\alpha:1_\fd\to(\cdot)^{\ast\ast}$ .
Un buen ejercicio que puede ayudarte a comprender (yo disfruté mucho con este ejercicio, me dio mucha confianza en que entendía el material - yo también soy un principiante :)): (Fuente, Teoría de la categoría básica de Leinster ):
Dejemos que $\mathscr{B}$ sea la categoría de conjuntos finitos y biyecciones . Dado $X\in\mathscr{B}$ , dejemos que $\sf{Sym}(X)$ sea el conjunto de permutaciones en $X$ (el conjunto de todas las biyecciones $\pi:X\to X$ ) y que $\sf{Ord}(X)$ sea el conjunto de todos los pedidos totales en $X$ (que son esencialmente cadenas $x_0\le x_1\le\cdots\le x_n$ ). Ampliar $\sf{Sym},\sf{Ord}$ a los funtores $\mathscr{B}\to\sf{Set}$ (es decir, proporcionar un mapa de flechas, ya se ha dado un mapa de objetos) de forma natural (es importante que $\mathscr{B}$ sólo dispone de biyecciones mientras que $\sf{Set}$ no lo es). Exhibir isomorfismos $\sf{Sym}(X)\simeq\sf{Ord}(X)$ para todo conjunto finito $X$ Pero demuestra que es imposible para que exista un isomorfismo natural (¡o incluso cualquier transformación natural!) $\alpha:\sf{Sym}\to\sf{Ord}$ . Sugerencia: "considerar las permutaciones de identidad".
