unión de la filtración natural frente a la unión de la filtración continua derecha

Question

Supongamos que para una rcll dada $\mathbb{R}$ -proceso valorado $X=(X_s)_{s\geq 0}$ definimos $\tilde{\mathcal{F}}_t=\sigma(X_s:s\leq t)$ y $\mathcal{F}_t=\bigcap_{s>t}\sigma(X_u:u\leq s)$ . (Hice las suposiciones para $X$ (sólo para el caso, que hay algunos ejemplos complejos, donde pueden no coincidir). ¿Podemos decir que $\tilde{\mathcal{F}}=\bigcup_{t\geq 0}\tilde{\mathcal{F}}_t$ y $\mathcal{F}=\bigcup_{t\geq 0}\mathcal{F}_t$ ¿coinciden? Hasta ahora no veo ningún problema.

Answer 1

$\mathcal{F}_t\subset\tilde{\mathcal{F}}_{t+\delta}$ para cualquier $\delta>0$ Así que $ \bigcup_{t\geq 0}\mathcal{F}_t\subset \bigcup_{t\geq 0}\tilde{\mathcal{F}}_t$ y a la inversa, la filtración continua de la derecha siempre contiene la filtración natural. No es necesario el supuesto rcll.