Convertir en una forma de Sturm-Liouville $y''+R(x)y'+(Q(x)+\lambda p(x))y=0$

Question

Convertir en una forma de Sturm-Liouville $$y''+R(x)y'+(Q(x)+\lambda P(x))y=0\tag1$$

Mi intento:

La forma de Sturm-Liouville es:

$$\frac{d}{dx}[r(x) \frac{dy}{dx}]+(q(x)+\lambda p(x))y=0\tag2$$

Para obtenerlo, necesitamos multiplicar por $\mu(x)$ el ODE $(1)$ . Este resultado en:

$$\mu y''+\mu R(x)y'+(\mu Q(x)+\lambda \mu P(x))y=0 \tag3$$

Necesito reescribir el primer término de $(3)$ .

Aquí, estoy atascado. No tengo una idea clara de cómo reescribir y luego proceder para resolver el ejercicio.

¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Si ampliamos la ecuación $(2)$ obtenemos $$ r(x) y'' + r'(x) y' + (q(x) + \lambda p(x)) y = 0 \ \ \ \ \ (2a).$$

Así que el objetivo es elegir las funciones $\mu(x)$ , $r(x)$ , $q(x)$ y $p(x)$ para que su ecuación $(3)$ coincide con mi ecuación $(2a)$ .

Comparando los términos individuales, el requisito es que $$ \mu(x) = r(x), \ \ \ \ \ \mu(x)R(x) = r'(x), \ \ \ \ \ \mu(x)Q(x) = q(x), \ \ \ \ \ \mu(x)P(x) = p(x).$$ La primera de estas ecuaciones es sencilla: nos dice que $\mu(x)$ y $r(x)$ debe ser el misma función.

Dado que $\mu(x) = r(x)$ la segunda ecuación dice que $$ \mu(x) R(x) = \mu'(x),$$ y esto se satisface con

$$ \mu(x) = \exp \left(\int dx \ R(x) \right).$$

Te dejaré para que descubras qué $q(x)$ y $p(x)$ y terminar.