continuidad, discontinuidad ejemplos de funciones

Question

I. Necesito encontrar una función de R a R discontinua en los enteros pares

Answer 1

Para la segunda parte es posible encontrar una función como la siguiente

$$f(x)= \begin{cases} x, & x \in \Bbb{R}\setminus \Bbb{Q} \\ 2k & x \in [2k-1,2k+1)\cap \Bbb{Q} , \forall k \in\Bbb{Z} \end{cases} $$

---

En general, si tiene dos funciones $f,g : \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ entonces la función

$$ h(x)=\begin{cases} f(x) & x \in \Bbb{Q} \\ g(x) & x \in \Bbb{R}\setminus \Bbb{Q} \end{cases} $$

es continua en $x_0$ si $f,g$ son ambos continuos en $x_0$ y $f(x_0)=g(x_0)$ .

Answer 2

Intenta dibujar algunos gráficos. Un gráfico deja claro inmediatamente que $\lfloor 2x\rfloor$ no funcionará para tu primer problema: salta a $0,\frac12,1,\frac32,\dots$ . Sin embargo, existe una sencilla $\alpha$ tal que la función $f(x)=\lfloor\alpha x\rfloor$ funciona, y no debería ser muy difícil de encontrar. Su otra sugerencia $-$ la función característica del conjunto de enteros pares $-$ funciona, y no es nada difícil demostrarlo.

Su segundo problema es efectivamente más difícil. Aquí tienes una gran PISTA. Empieza con una función que sea continua en un solo punto, digamos en $x=0$ . Teniendo en cuenta estos ejercicios, sospecho que has visto uno, pero si no, la función $$f(x)=\begin{cases}x,&\text{if }x\text{ is rational}\\0,&\text{if }x\text{ is irrational}\end{cases}\tag{1}$$ es un ejemplo bastante estándar. Ahora toma el gráfico de este $f$ en el intervalo $[-1,1)$ y lo copiamos a izquierda y derecha para hacer una función periódica con periodo $2$ . En cada número entero par esa función periódica tendrá el mismo aspecto que $(1)$ hace en $x=0$ . Escribir los detalles de la definición de esta función periódica es un ejercicio bastante sencillo que te dejo a ti.