Desigualdad extraña sobre los reales positivos

Question

Dejemos que $a$ , $b$ y $c$ sean números reales positivos con $2a^3b+2b^3c+2c^3a=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$ . Demostrar que $$2ab(a-b)^2+2bc(b-c)^2+2ca(c-a)^2 \geqslant (ab+bc+ca)^2$$

Answer 1

Tenemos que demostrar que $$\sum_{cyc}(2a^3b+2a^3c-5a^2b^2-2a^2bc)\geq0$$ o $$\sum_{cyc}(2a^3b+2a^3c-5a^2b^2-2a^2bc)+3\sum_{cyc}(2a^3b-a^2b^2)\geq0$$ o $$\sum_{cyc}(4a^3b+a^3c-4a^2b^2-a^2bc)\geq0.$$

Dejemos que $a=\min\{a,b,c\}$ , $b=a+u$ y $c=a+v$ .

Por lo tanto, $$\sum_{cyc}(4a^3b+a^3c-4a^2b^2-a^2bc)=$$ $$=6(u^2-uv+v^2)a^2+(5u^3+3u^2v-6uv^2+5v^3)a+uv(2u-v)^2\geq0.$$ ¡Hecho!

Además, podemos usar C-S.

Tenemos que demostrar que $$\sum_{cyc}(4a^3b+a^3c-4a^2b^2-a^2bc)\geq0$$ o $$\sum_{cyc}(4a^3b-4a^2b^2+ab^3)\geq(a+b+c)abc$$ o $$\sum_{cyc}ab(2a-b)^2\geq(a+b+c)abc$$ o $$\sum_{cyc}\frac{(2a-b)^2}{c}\geq a+b+c.$$

Ahora, por C-S $$\sum_{cyc}\frac{(2a-b)^2}{c}\geq\frac{\left(\sum\limits_{cyc}(2a-b)\right)^2}{\sum\limits_{cyc}c}=a+b+c.$$