multiplicador de lagrange--minimizar

Question

Minimizar $f(x,y,z)=x^2 + y^2+z^2 $ la restricción es $x^3+1 \leq 0 $

cuando hice esto usando la variable slack obtengo $(x,y,z)=(-1,0,0) $ pero no funciona utilizando el método del multiplicador de Lagrange.

Por favor, ayúdenme.

gracias de antemano

Entiendo que tendré que usar una variable de holgura para hacer una igualdad y tendré $x^3+1+S^2=0$

Answer 1

Con el multiplicador de Lagrange, comprobamos si la restricción es vinculante o no. Así que tenemos:

$L(x, y, z, \lambda) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - \lambda(x^{3} + 1)$ . A continuación, comprobamos nuestras condiciones de primer orden:

$2x - 3x^{2} \lambda = 0$
$2y = 0$
$2z = 0$

Por lo tanto, si la restricción es vinculante, entonces $\lambda \neq 0$ y así $x = -1$ . Eso nos da $\lambda = -\frac{2}{3}$ . Eso nos da $f(-1, 0, 0) = 1$ como mínimo.

Y si la restricción no es vinculante, entonces $\lambda = 0$ y $x < -1$ , lo que nos da $x^{2} > 1$ .