Álgebras sobre la operada de los pequeños discos

Question

Hola,

El llamado "principio de reconocimiento" de Boardman-Vogt y May me deja insatisfecho. Mi problema es el siguiente:

El "principio de reconocimiento" dice que todo álgebra "grupal" sobre el pequeño $k$ -es equivalente (como álgebra sobre el pequeño $k$ -discos operad) a un $k$ -espacio de bucles. Sin embargo, si empiezo con un espacio homotópico equivalente a un $k$ -espacio de bucle doble, entonces no es a priori equipado con una acción de los pequeños discos. Así que:

1) En primer lugar, ¿puede alguien darme un ejemplo explícito de un espacio homotópico equivalente, digamos, a un espacio de doble bucle y tal que no admita acciones (compatibles) de la pequeña $2$ -¿discos operad?

2) ¿Puedes caracterizar entre los espacios homotópicos equivalentes a los espacios de doble bucle aquellos que son álgebras sobre la operada de los pequeños discos?

3)He oído que el problema estaba relacionado con el hecho de que las operadas de los pequeños discos no son cofibrantes (en la categoría de homotopía de las operadas), y que los sustitutos cofibrantes serían las llamadas operadas de Fulton-McPherson. Se trata de "compactificaciones" de espacios de configuración de puntos en $\mathbf{R}^k$ (modulo la acción del grupo afín tal vez) definido usando una variante de una construcción debida a Fulton y McPherson.

¿Es obvio, a partir de la definición, que esta operada actúa efectivamente sobre espacios de bucles iterados?

Muchas gracias,

K.

Answer 1

Voy a dar una respuesta de los viejos tiempos. El $W$ construcción de Boardman y Vogt corresponde a la noción moderna de sustitución cofibrante de las operadas. Si una operada $\mathcal{C}$ actúa sobre $X$ y $Y$ es equivalente en homotopía a $X$ entonces $W\mathcal{C}$ actúa sobre $Y$ . Por cierto, hay un defecto inherente al pequeño discos operads $\mathcal{D}_n$ es decir, no hay ningún mapa de operadas $\mathcal{D}_n\longrightarrow \mathcal{D}_{n+1}$ que es compatible con la suspensión (en el sentido obvio: considere $\Omega^n \longrightarrow \Omega^{n+1}\Sigma$ ). El pequeño $n$ -cubos operads no tienen este problema, pero tienen otros no compartidos por el $\mathcal{D}_n$ . Las operadas de Steiner tienen todas las buenas propiedades de las $\mathcal{C}_n$ y el $\mathcal{D}_n$ . En la práctica, es decir, en las aplicaciones aplicaciones reales, estas diferencias geométricas son mucho más importantes que las cuestiones de cofibrancia e invariabilidad de la homotopía.

Answer 2

He aquí un buen ejemplo para la pregunta simplificada de André. Consideremos el intervalo $X=[-1,1]$ con $0$ como punto de partida. Supongamos que existe una estructura monoide continua $m:X^2\to X$ con $0$ como elemento de identidad. Supongamos que $u<0$ y $v>0$ entonces podemos aplicar $m$ a la trayectoria lineal a trozos $(0,u)\to(v,u)\to(v,0)$ para obtener una ruta de $u$ a $v$ que debe pasar por $0$ por el teorema del valor intermedio. De ello se deduce que, o bien $u$ o $v$ debe ser invertible. De esto deducimos que o bien todos los números positivos son invertibles, o bien todos los números negativos son invertibles; wlog lo primero. Ahora para $0\leq t\leq 1$ los mapas $m(t,-):X\to X$ son homeomorfismos, por lo que preservan el límite $\{-1,1\}$ . Como $m(0,-)$ es la identidad en la frontera, lo mismo debe ser cierto para $m(t,-)$ (para $0\leq t\leq 1$ ). En particular, tenemos $m(t,1)=1=m(0,1)$ pero $1$ es invertible por lo que $t=0$ , lo cual es una contradicción.

Ahora dejemos que $X$ sea un árbol arbitrario con un número finito de aristas. Si $a\in X$ no es un punto límite, entonces $X\setminus\{a\}$ será desconectado y podemos ejecutar el mismo tipo de argumento con los diferentes componentes conectados para ver que no hay ninguna estructura monoide con $a$ como elemento de identidad. Si $a$ es un punto límite, entonces puede haber una estructura monoide; por ejemplo, el conjunto $X=\{z\in\mathbb{C}:z^n\in [0,1]\}$ es un árbol que es un submonoide de $\mathbb{C}$ bajo la multiplicación. Mi opinión es que para árboles más generales no hay una estructura monoide, pero no veo una prueba por el momento.

Answer 3

Esto debía ser un comentario a la respuesta de Neil, pero era demasiado largo.

Aquí hay una clase más general de árbol que tiene una estructura monoide. Sea $X$ sea un árbol. Consideremos el árbol obtenido considerando sólo los vértices internos (vértices con valencia mayor que 1) y las aristas entre ellos. Supongamos que este subárbol no tiene vértices con valencia mayor que 2. Entonces existe una estructura monoide en $X$ .

En concreto, esta propiedad significa que existe una secuencia de vértices $v_1,\ldots, v_n$ para que cada vértice sea uno de los $v_i$ o tiene valencia uno y comparte su arista única con uno de los $v_i$ . Además, $v_i$ comparte un borde con $v_{i+1}$ . Para $i \lt n$ , dejemos que $r_i$ sea uno menos que la valencia de $v_i$ . Para $i=n$ , dejemos que $r_n$ sea la valencia de $v_n$ . Este número es al menos $1$ . Sea $A_i$ sea el monoide de Neil $\{z\in \mathbb{C}: z^{r_i}\in [0,1]\}$ . Consideremos el monoide $A_1\times\cdots \times A_n$ y considerar los subconjuntos $M_i=\{0\}\times\cdots\times\{0\}\times A_i\times\{1\}\times \cdots \times\{1\}$ . $M_1$ contiene la unidad del producto; $M_i$ es cerrado bajo el producto monoidal, y si $i\lt j$ entonces $M_i\times M_j\subset M_j$ .

Ahora dejemos que $M$ sea la unión de los $M_i$ . topológicamente, $M_i$ es $A_i$ es decir, una corola con $r_i$ bordes. La corola $M_i$ está pegado a $M_{i+1}$ a lo largo del punto $(\underbrace{0,\ldots, 0}_i, 1,\ldots, 1)$ que es el vértice central de $M_i$ y un vértice extremo de $M_{i+1}$ . Esto da como resultado $X$ .

Obsérvese que no todos los puntos límite de $X$ surge como la unidad de una estructura monoide bajo esta construcción.

Editar:

Mi respuesta a mathoverflow.net/preguntas/91327 muestra que la cubierta universal del grafo theta (y muchos árboles similares) no puede llevar una estructura monoide.