Ahora estoy aprendiendo la Teoría Cuántica de Campos leyendo los apuntes de la conferencia de David Tong.
Tengo alguna pregunta sobre la expansión de modos sobre el campo escalar real que se cuantifica canónicamente al promover el campo clásico de Klein Gordon a un campo cuántico.
La expansión modal del campo viene dada por
$$ \phi (\vec x) = \int \frac{d^{3}p}{(2 \pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 \omega_{\vec p}}} (a_{\vec p} e^{i {\vec p} \cdot {\vec x}} + a^{\dagger}_{\vec p} e^{-i {\vec p} \cdot {\vec x}}) $$
donde $\omega_{\vec p} = \sqrt{p^{2} + m^2}$ y $a^{\dagger}_{\vec p}$ creará un giro $0$ partícula en el estado de momento $\left| \vec p \right\rangle$ , a saber $a^{\dagger}_{\vec p} \left| {0} \right\rangle = \left| {\vec p} \right\rangle$ .
La pregunta que ahora me da curiosidad es sobre qué obtendré si opero el campo cuántico sobre el estado de vacío, es decir $\phi (\vec x) \left| {0} \right\rangle = ?$
Parece que en la nota de la conferencia $\phi (\vec x) \left| {0} \right\rangle = \left| {\vec x} \right\rangle$ , donde $\left| {\vec x} \right\rangle$ es el giro $0$ partícula en estado de posición en $\vec x$ .
(ecuación 2.52 en http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/two.pdf )
Sin embargo, esto no me parece trivial, así que he realizado la siguiente derivación.
$$ \phi (\vec x) \left| {0} \right\rangle = \int \frac{d^{3}p}{(2 \pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 \omega_{\vec p}}} (a_{\vec p} e^{i {\vec p} \cdot {\vec x}} + a^{\dagger}_{\vec p} e^{-i {\vec p} \cdot {\vec x}})\left| {0} \right\rangle $$ $$ = \int \frac{d^{3}p}{(2 \pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 \omega_{\vec p}}} (\left| {\vec p} \right\rangle e^{-i {\vec p} \cdot {\vec x}}) $$
Sin embargo, no tengo idea de cómo probar que $$ \int \frac{d^{3}p}{(2 \pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 \omega_{\vec p}}} (\left| {\vec p} \right\rangle e^{-i {\vec p} \cdot {\vec x}}) = \left| {\vec x} \right\rangle $$
Sé que en la mecánica cuántica elemental tenemos $$ \left| {\vec x} \right\rangle = \int d^{3}p \left| {\vec p} \right\rangle \left\langle {\vec p} \right| \cdot \left| {\vec x} \right\rangle $$ Sin embargo, esto no se parece a lo que quiero demostrar.
Parece una pregunta estúpida pero es que me he quedado atascado en ella.
Le agradecería cualquier sugerencia.
