¿Por qué no utilizar el producto cartesiano para la categoría monoidal de los módulos? ¿Por qué utilizar el producto tensorial?

Question

Al menos para los espacios vectoriales, el producto cartesiano es una operación de suma directa (producto categórico y coproducto). Si nos fijamos en la definición de monoidal en Wikipedia, el producto cartesiano/suma directa de módulos parece satisfacer todos los prerrequisitos para la operación de producto monoidal (porque creo que la identidad sería el módulo trivial, que siempre es un objeto terminal en $Set$ y por lo tanto deberíamos tener que $V \times \{0\} \simeq V$ creo).

Además, los módulos son conjuntos, y el producto cartesiano funciona bien como producto monoidal para $Set$ , por lo que aparentemente si la operación del producto de $Set$ fueran compatibles con la estructura de la subcategoría de módulos, lo que parece ser (de ahí mi mención a las sumas directas antes), ¿no tendría más sentido utilizar simplemente el producto monoidal de la "categoría madre" (es decir, el producto cartesiano/suma directa) en la subcategoría (de módulos)?

¿Por qué la introducción de la noción de producto tensorial no es una complicación innecesaria (en el contexto de las categorías monoidales sólo )?

La razón por la que esto me molesta tanto es que rechazar el producto cartesiano en favor del producto tensor para utilizarlo como producto monoidal para la categoría monoidal de módulos parece la única razón para introducir la noción de álgebra de Hopf.

El producto cartesiano es completamente compatible con la noción más simple y obvia de objeto de grupo, así que si vamos a gastar tanto tiempo y esfuerzo tratando de trabajar alrededor de la ausencia de las características agradables de la cartesiana impuesta por el uso del producto tensor en su lugar, debe haber una buena razón, pero no puedo averiguar cuál es.

Es decir, si utilizáramos los productos cartesianos como producto monoidal para la categoría de módulos, en lugar del producto tensorial, parece que podríamos definir objetos de grupo sobre ellos con poco o ningún esfuerzo, en lugar de tener que inventar todo un nuevo concepto de álgebra de Hopf.

(Es decir, para que podamos definir algo similar a un objeto de grupo en espacios vectoriales, pero utilizando el producto tensorial como producto monoidal en lugar del producto cartesiano).

¿Por qué es tan importante utilizar el producto tensorial como el producto monoidal cuando se consideran los módulos como una categoría monoidal?

(Véase, por ejemplo https://www.youtube.com/watch?v=zZn9ZETVkF8 )

Answer 1

Tú lo pides:

¿no tendría más sentido utilizar simplemente el producto monoidal de la "categoría madre"?

pero esta pregunta no tiene sentido, realmente. Para juzgar si algo tiene más o menos sentido que otra cosa, hay que detallar lo que se pretende conseguir.

A veces, la suma directa es la operación correcta para convertir los módulos en una categoría monoidal -se utiliza en el contexto de $K$ -teoría todo el tiempo, por ejemplo. A veces, el producto tensorial es la operación correcta: por ejemplo, en el contexto del teorema de Eilenberg-Watts, los módulos aparecen en forma de descripción de funtores, y entonces el producto tensorial de módulos corresponde a la composición de funtores.

Casi nada tiene sentido "en abstracto": cuando elegimos una estructura u otra, tenemos un objetivo en mente, y es con respecto a ese objetivo que evaluamos nuestras elecciones.

Answer 2

Todo objeto de una categoría aditiva es un grupo y un cogrupo, canónicamente, con respecto a la estructura monoidal de la suma directa. Esto refleja el hecho de que los espacios vectoriales, y más generalmente, los módulos, son en realidad grupos. Por lo tanto, no hay nada que hacer.

Las álgebras de Hopf no se inventaron para causar dolor, y mucho menos por el deseo de decorar la estructura monoidal dada por el producto tensorial, sino para describir la estructura que surge, por ejemplo, en ciertos anillos de cohomología. No puedo evitar preguntarme dónde estás leyendo sobre las álgebras de Hopf que deja la motivación real tan oscura. En general, si no puedes averiguar la motivación de algún concepto por ti mismo, ¡busca en Google! El artículo de la Wikipedia ya parece ser una mejora respecto a tu motivación actual.

Answer 3

La suma directa de $k$ -espacios vectoriales hace $\mathbf{Vec}_k$ en un coartesiano categoría monoidal, no cartesiana.