$\vec H$ cálculo, dado $\vec J$ , ejercicio de confusión

Question

Me gustaría calcular $\vec H $ en cada punto, dado el siguiente patrón (que se extiende infinitamente en $x$ y $y$ direcciones).

(estamos viendo en $xz$ plano) $$ \vec J(x,y,z)= \begin{cases} \dfrac{J_0z}{h}\hat{x}&\mbox{, if }z \in (-h,h)\\\\ \;\;\; \vec0&\mbox{, else } \end{cases} $$

Por simetría podemos ver que $\vec H = \vec H(z)$ y también, $$ \begin{cases} H_x(z) &= -H_x(-z) \\ H_z(z) &= -H_z(-z) \\ H_y(z) &= \; \; \; H_y(-z) \end{cases} $$ donde $\vec H = (H_x,H_y,H_z)$ .

Combinando lo anterior con la forma puntual e integral de las ecuaciones de Maxwell llegué a lo siguiente: $$ \vec H(x,y,z)= \hat{y} H_y(z)= \begin{cases} \biggl ( c-\dfrac{J_0z^2}{2h} \biggr ) \hat{y} &\mbox{, if }z \in (-h,h)\\\\ \biggl (c-\dfrac{J_0h}{2} \biggr ) \hat{y} &\mbox{, else } \end{cases} $$ donde $c$ es una constante.

No encuentro cómo calcular esa constante. He intentado ver si hay algún punto en el que $\vec H = \vec 0$ sin éxito. Por favor, ayuda.

(la siguiente figura corresponde a mi pregunta a una respuesta más abajo)

Answer 1

La constante $c$ es arbitraria. Siempre puedes sumergir tu sistema en un campo constante, impuesto externamente $H_y=c$ . "Impuesta externamente" significa que el mecanismo que produce este campo externo está muy lejos. El campo uniforme tiene ${\rm curl}\, {\bf H}_{\rm external}=0$ para que no se estropee la solución.

Si las únicas corrientes en el universo son las del problema, entonces se puede establecer con seguridad $c=J_0h/2$ para que no haya ningún campo fuera de la región en la que se encuentra la corriente excplicitaria.