Caracterizaciones equivalentes de los ultrafiltros

Question

Si $\mathcal{F}$ es un filtro en $X$ ¿Serán equivalentes las siguientes condiciones?

(1) $\mathcal{F}$ es un ultrafiltro.

(2) Para cada $ \emptyset \neq M \subset X$ , ya sea $M \in \mathcal{F}$ o $X - M \in \mathcal{F}$ .

(3) Si $F_1 \cup \ldots \cup F_n \in \mathcal{F}$ , entonces hay $j$ s.t $F_j \in \mathcal{F}.$

Conozco las pruebas de (2) $\implies$ (3) y (3) $\implies$ (1).

¿Podría ayudarme a probar (1) $\implies$ (2)?

Answer 1

Supongamos que $\mathscr{F}$ es un ultrafiltro en $X$ y que $\varnothing\ne M\subsetneqq X$ . Supongamos que $M\notin\mathscr{F}$ . Porque $\mathscr{F}$ es un ultrafiltro, es un filtro máximo, y por lo tanto $\mathscr{F}\cup\{M\}\subseteq\mathscr{G}$ no puede extenderse a un filtro en $X$ esto implica que $F\cap M=\varnothing$ para algunos $F\in\mathscr{F}$ . Claramente $F\subseteq X\setminus M$ ; ya que $\mathscr{F}$ es un filtro, esto implica que $X\setminus M\in\mathscr{F}$ . Por lo tanto, o bien $M\in\mathscr{F}$ o $M\notin\mathscr{F}$ en cuyo caso (como acabamos de demostrar) $X\setminus M\in\mathscr{F}$ .