Cálculos con el momento angular

Question

¿Es correcto lo siguiente, al sumar 3 momentos angulares/espines: \begin{align} 1\otimes 1\otimes \frac{1}{2}&=\left(1\otimes 1\right)\otimes \frac{1}{2} \\ &=\left(2\oplus 1\oplus 0\right)\otimes \frac{1}{2} \\ &=\left(2\otimes \frac{1}{2}\right)\oplus \left(1\otimes \frac{1}{2}\right)\oplus \left(0\otimes \frac{1}{2}\right) \\ &=\left(\frac{5}{2}\oplus\frac{3}{2}\right)\oplus \left(\frac{3}{2} \oplus\frac{1}{2}\right)\oplus \left(\frac{1}{2}\right) \\ &=\frac{5}{2}\oplus\frac{3}{2}\oplus\frac{3}{2}\oplus\frac{1}{2}\oplus\frac{1}{2}. \end{align}

Observaciones:

1. $\oplus$ y $\otimes$ son conmutativos.
2. $0\otimes\frac{1}{2}$ hace $0$ desaparecer en la línea antes de la última... No lo entiendo. También ocurre con $0\otimes 1$ pero eso se siente mal. ¿No puedo obtener un giro total de 0 en ese caso?

Answer 1

$\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right>}$ Tenga en cuenta que $ l=0$ sólo tiene un estado $m=0$ . Por lo tanto, el producto tensorial de $l=1$ y $l=0$ se puede escribir como:

$$ (l=1)\otimes (l=0) = \left\{ \begin{array} &\ket{l= 1,m=1} \otimes \ket{l=0,m=0} \\ \ket{l=1,m=1} \otimes \ket{l=0,m=0} \\ \ket{l=1,m=1} \otimes \ket{l=0,m=0} \\ \end{array} \right\}=(l=1) $$ Como probablemente haya notado, este es sólo el espectro de $l=1$ estado por lo que sólo lo consideras como $l=1$ triplete.

Editar: Por alguna razón pensé que habías preguntado $(l=1) \otimes (l=0)$ pero se puede aplicar igualmente a $ \left(l= \frac{1}{2} \right) \otimes (l=0)$

Answer 2

El resultado final me parece correcto. Todo debería ser medio entero.

Una regla básica de la combinación de dos momentos angulares cuantificados es que el número cuántico de la resultante puede estar en cualquier lugar entre la suma de los números cuánticos originales y el valor absoluto de la diferencia de ellos, en pasos enteros. Consideremos $\ell_1$ = 1 combinando con $\ell_2$ =3. El número cuántico, $L$ de la combinación puede estar entre |3-1|=2 y 3+1=4, escalando por 1, o $L = 2, 3, \text{ or } 4$ .

Por lo tanto, si sólo se tiene una partícula con un número cuántico medio entero, la combinación debe sea un número cuántico medio entero. No hay manera de obtener 0.

Además, con números cuánticos de 1 y 0, el resultado estaría entre |1-0| y 1+0, que es 1.

La razón de esta regla se basa en la matemática de la preservación de las funciones de onda del momento angular. Si estudias más QM, eventualmente llegarás a la teoría de grupos de rotación, los símbolos 3j, los coeficientes de Clebsch-Gordon, etc., que ayudarán a explicar la regla. Pero la regla funciona.

Answer 3

Para dramatizar el punto de las respuestas correctas anteriores, permítanme reescribir sus multipletes de la forma en que los matemáticos, o los sabios de SU(3), SU(5),..., los escriben, a través de la dimensionalidad real 2l+1 de los multipletes, en negrita .

Entonces, l \=1/2 es un doblete, 2 ; 1 es un triplete, 3 ; 3/2 es un cuarteto, 4 y 5/2 un sexteto, 6 y 0 un singlete, 1 la fuente de su confusión.

Entonces su serie de Clebsch-Gordan para el producto de Kronecker es expresable como $$ {\bf 3 } \otimes {\bf 3 } \otimes {\bf 2 }= {\bf 6 } \oplus {\bf 4 } \oplus {\bf 4 } \oplus {\bf 2 } \oplus {\bf 2 } ~, $$ que coincide manifiestamente al nivel de la aritmética escolar elemental con la dimensionalidad del espacio vectorial de la representación reducible completa.