¿Puede alguien dar un ejemplo de una colección de matrices que sea un conjunto abierto?

Question

Estoy totalmente confundido sobre lo que significa que una matriz forme un conjunto abierto. Para mí, un conjunto abierto es un intervalo ( , ) en $\mathbb{R}$ o algún círculo de puntos en $\mathbb{C}$ (de acuerdo, el círculo punteado es $\{z \in \mathbb{C}: |z|<1\}$ )

¿Puede alguien dar una explicación intuitiva de por qué y cómo cierta colección de matrices forman un conjunto abierto?

Answer 1

$GL_n(\Bbb{R})$ el grupo lineal de matrices invertibles es un conjunto abierto en $\mathcal{M}_n(\Bbb{R})$ el espacio de $n\times n$ porque es la imagen inversa de $\Bbb{R}^*=\{x\in \Bbb{R},\,x\neq0\}$ que está abierto en $\Bbb{R}$ por una función continua (polinómica) que es el determinante.

Answer 2

$GL_{n}(\mathbb{R})$ es un subconjunto abierto de $M_{n}(\mathbb{R})$ , donde $M_{n}(\mathbb{R})$ es el conjunto de todos los $n\times n$ matrices con entradas reales, y $GL_{n}(\mathbb{R})$ se llama el grupo lineal general que consiste en matrices invertibles.

Considera el determinante de una matriz como un mapa; es decir,

$$det:GL_{n}(\mathbb{R})\rightarrow \mathbb{R}\setminus \left \{0 \right \}$$

El mapa es continuo y $\mathbb{R}\setminus \left \{0 \right \}$ está abierto en $\mathbb{R}$ .por lo tanto $GL_{n}(\mathbb{R})$ está abierto en $M_{n}(\mathbb{R})$ .

De la misma manera, $SO_{n}(\mathbb{R})$ es un subconjunto abierto de $O_{n}(\mathbb{R})$ , donde $O_{n}(\mathbb{R})$ y $SO_{n}(\mathbb{R})$ se denominan grupo ortogonal y grupo ortogonal especial, respectivamente. De nuevo, consideremos el mapa $$det:O_{n}(\mathbb{R})\rightarrow \left \{ \pm 1 \right \}$$ La imagen inversa de 1 por este mapa es $SO_{n}(\mathbb{R})$ Dado que el punto 1 está abierto en $\left \{ \pm 1 \right \}$ tenemos que $SO_{n}(\mathbb{R})$ es un subconjunto abierto de $O_{n}(\mathbb{R})$ .

Otra vez, $SL_{n}(\mathbb{R})$ es un subconjunto cerrado de $M_{n}(\mathbb{R})$ ya que {1} es cerrado en $\mathbb{R}$ .