Cómo evaluar $\lim_{x \to \infty} 2 + 2x\sin\left(\frac{4}{x}\right)$ ?

Question

Aquí está mi límite para ser evaluado

$\lim_{x \to \infty} 2 + 2x\sin\left(\frac{4}{x}\right)$ =?

Answer 1

A continuación se presenta un sencillo paso a paso

$$\begin{align} &\quad \lim_{x \to \infty} 2 + 2x\sin\left(\frac{4}{x}\right) \\ &= \lim_{x \to \infty} 2 + 8 \frac{x}{4} \sin\left(\frac{4}{x}\right) \\ &= \lim_{x \to \infty} 2 + 8 \lim_{x \to \infty} \frac{\sin\left(\frac{4}{x}\right)}{\frac{4}{x}} \\ &= \lim_{x \to \infty} 2 + 8 \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} \\ &=2+8(1)=10 \end{align} $$

Answer 2

GRAN PISTA:

$$\lim_{x\to\infty}\left(2+2x\sin\left(\frac{4}{x}\right)\right)=2+\left(\lim_{x\to\infty}2x\sin\left(\frac{4}{x}\right)\right)=2+2\left(\lim_{x\to\infty}x\sin\left(\frac{4}{x}\right)\right)=$$

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Dejemos que $n=\frac{1}{x}$ :

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$$2+2\left(\lim_{n\to 0}\frac{1}{n}\cdot\sin\left(4n\right)\right)=2+2\left(\lim_{n\to 0}\frac{\sin\left(4n\right)}{n}\right)=$$ $$2+2\left(\lim_{n\to 0}\frac{\frac{\text{d}}{\text{d}n}\left(\sin\left(4n\right)\right)}{\frac{\text{d}}{\text{d}n}\left(n\right)}\right)=2+2\left(\lim_{n\to 0}\frac{4\cos(4n)}{1}\right)=2+8\lim_{n\to 0}\cos(4n)$$

Answer 3

El límite en cuestión es $2+2\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{4}{x}=2+8=10$ .

Answer 4

Para todos $n$$$ 2+2x{sin (\frac nx)=2+2 \frac{sin (\frac nx)}{sin 1x}=2+2n \frac{sin (\frac nx)}{sin nx}{sin 2+2n$$