¿Por qué los polinomios no pueden tener exponentes negativos o división por una variable?

Question

¿Por qué no pueden ser polinomios también:

$$2x^{-3} - 3x$$

o

$$\frac{1}{2x}$$

¿Por qué tener una definición que excluye estas formas algebraicas?

Answer 1

Los polinomios se definen como se definen por algunas razones distintas: (1) porque los polinomios como funciones tienen ciertas propiedades que tus 'polinomios con división' no tienen, y (2) porque hay otros términos para formas algebraicas más generalizadas.

Primero, las propiedades de los polinomios: a diferencia, por ejemplo, de $2x^{-3}+3x$, los polinomios no tienen puntos singulares; no hay lugar donde un polinomio 'explota', donde va al infinito. En particular, esto significa que el dominio de un polinomio como una función es todo $\mathbb{R}$ - o, alternativamente, todo $\mathbb{C}$). De hecho, los polinomios en el plano complejo tienen propiedades aún más agradables - son funciones analíticas, lo que significa que no solo están bien definidas en todas partes, sino que todas sus derivadas están bien definidas en todas partes. Esto significa que los polinomios tienen muchas propiedades estructurales que los convierten en objetos de estudio 'agradables' de formas que tus expresiones no lo son.

En segundo lugar, también hay también una noción que (aproximadamente) corresponde a tu versión 'extendida' de polinomios, con su propio conjunto de buenas propiedades: el anillo de funciones racionales, que incluye no solo términos como $x^2+\frac1x+5$ sino también términos como $\dfrac{x^3+2}{x+5}$ que tu formulación no sugiere al menos a primera vista. Estos representan una extensión útil de los polinomios para el estudio porque están cerrados bajo la operación de división; para cualquier par de funciones racionales $f(x)$ y $g(x)$, la función $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ también es una función racional. Esta propiedad no se cumple para tus 'polinomios de Lambert', porque no hay una expresión finita en potencias positivas y/o negativas de $x$ que corresponda a la función $\frac1{x+1}$.

Además, también hay un objeto que ocasionalmente se estudia que corresponde más directamente a tu noción: la noción de Polinomio de Laurent. Como sugiere ese artículo, son de particular importancia e interés por sus conexiones con el campo de las Álgebras de Hopf (y, por extensión, los grupos cuánticos). Opinaría que la razón por la que no son el objeto principal de estudio es porque no son la estructura 'más simple' de interés entre cualquiera de sus pares, y fundamentalmente las estructuras más importantes en matemáticas tienden a ser las estructuras más simples que exhiben alguna propiedad dada.

Answer 2

Algunas razones: tienen dominio $\mathbb{R}$, la familia de polinomios está cerrada bajo suma, resta, multiplicación, diferenciación, composición e integración, y cualquier función continua en un intervalo cerrado y acotado puede aproximarse tan cerca como desee por polinomios. Eso es una gran cantidad de propiedades agradables. Hay buenas razones más allá de las razones pedagógicas (especialmente el hecho de que el dominio es $\mathbb{R}$). Tenga en cuenta que las antiderivadas (integrales) de funciones racionales no necesariamente son funciones racionales.

Answer 3

Aquí está mi comprensión de la razón de la restricción de la definición de "polinomio", en respuesta a la sugerencia de @QuoraFea. Intentaré hacer mi explicación lo más elemental posible, con expansiones entre paréntesis para los más técnicamente inclinados.

El conjunto (anillo, en realidad) de polinomios con coeficientes reales (más generalmente con coeficientes en cualquier anillo conmutativo) tiene una propiedad "universal" que los conjuntos más grandes no tienen. Simplemente hablando de polinomios en una variable, el conjunto de todos ellos, $\mathbb R[x]$ ($R[x]$ para un anillo general), tiene la propiedad de que la variable $x$ puede evaluarse en cualquier número real $a$ (en cualquier elemento $\alpha$ de un álgebra $A$ sobre el anillo base $R) para que este "mapeo de evaluación" pueda aplicarse a cualquier polinomio en absoluto (a cualquier elemento de $R[x]$ en absoluto). Es decir, una vez que has elegido $a$, entonces $f(a)$ tiene sentido como un número real (como un elemento de $A) no importa qué polinomio $\,f$ estés mirando.

Además, la elección de $a$, una vez hecha, te da una función de polinomios a constantes, la llamaré $e_a$, es decir, $e_a(f)=f(a)$. Y esta función es tanto aditiva como multiplicativa (es un morfismo de anillos de $R[x]$ a $A). Es decir, satisface $e_a(f+g)=e_a(f)+e_a(g)$ y $e_a(fg)=e_a(f)e_a(g)$, así como $e_a(\mathbf1)=1$, donde el $\mathbf1$ en negrita es el polinomio constante $1$, y el otro $1$ es el elemento unitario ordinario de $\mathbb R$. La función $e_a$ puede ser llamada el morfismo de evaluación. Destaco que el dominio es el conjunto de polinomios, y el espacio de destino, también conocido como codominio, es $\mathbb R$ (el álgebra $A$ en el caso general).

De hecho, hay otras estructuras algebraicas que permiten las funciones de evaluación a constantes [por ejemplo, el conjunto de todas las funciones analíticas enteras en la recta], pero el anillo de polinomios reales $R[x]$ es el único que permite que la variable $x$ sea evaluada en un elemento de cualquier estructura más grande que contenga a $\mathbb R$ (a cualquier álgebra $R$).

Answer 4

No sé si hay una razón "buena". El polinomio es solo un nombre para un cierto tipo de estructura. Prácticamente hablando, a menudo querrás trabajar con potencias negativas de $x$ así como con potencias positivas (por ejemplo, Series de Laurent), pero entonces simplemente no lo llamarías un polinomio.

Hay buenas razones pedagógicas para enseñar polinomios solo con potencias positivas. Hay muchas reglas que se aplican a la familia de polinomios en su totalidad que perderías si incluyeras potencias negativas en la definición. Los polinomios son probablemente las funciones más bien comportadas que existen (sin singularidades, continuas y diferenciables en todas partes, etc.) es útil estudiarlos por separado primero. Luego, cuando el estudiante esté cómodo con los polinomios, agregar las potencias negativas más complicadas es solo una modificación fácil de lo que ya se ha aprendido.

Hay una breve investigación sobre el origen de la palabra "Polinomio" aquí: Enlace

Hay una cita de allí que me sugiere que el significado original de polinomio podría haber sido: Cualquier cadena de expresiones matemáticas conectadas por suma y resta. No tengo pruebas sólidas de esto, así que tómalo con un grano de sal, pero sería más consistente con tu definición sugerida.

Answer 5

Te alegrará saber que como Steven mencionó, los "polinomios de Laurent" incluyen tanto exponentes positivos como negativos. Si $R$ es un anillo, como los números complejos, puedes considerar tales expresiones con los coeficientes en $R$ y se usan con frecuencia en álgebra superior. La notación para ellos es $R[x,x^{-1}]

Aquí tienes algo en qué pensar si has visto anillos cociente antes (o cuando los veas): el anillo de polinomios de Laurent es simplemente el cociente de otro anillo de polinomios: de hecho, $R[x,x^{-1}]$ es isomorfo a $R[x,y]/(xy - 1)$. Incluso si no has visto cocientes antes, este último anillo es simplemente el conjunto de todos los polinomios en dos variables con la relación $xy = 1$. Así que los polinomios de Laurent son simplemente una extensión natural de la idea de polinomios.