$\cosh(x)$ y $\sinh(x)$ que satisface la ecuación diferencial de segundo orden

Question

Demuestre que ambos $\cosh(x)$ y $\sinh(x)$ resolver la ecuación diferencial de segundo orden $$ \frac{d}{dx}\left[\frac{dy}{dx}\right]=y $$

No estoy seguro de lo que me pide la pregunta. ¿Cómo puedo encontrar el derivado de $y$ con respecto a $x$ de $\sinh(x)$ o $\cosh(x)$ cuando ninguna de las funciones contiene $y$ ?

Answer 1

Sólo deja que $y = \cosh x$ . Entonces

$$\frac{d}{dx}\frac{d(\cosh x)}{dx} = \frac{d}{dx} \sinh x = ?$$

Del mismo modo, para $\sinh x$ .

Answer 2

Dejemos que $z:=\dfrac{dy}{dx}$ que también dice $z\,dx=dy$ . La ecuación es

$$\frac{dz}{dx}=y.$$

Y si multiplicamos ambos miembros por $z\,dx$ ,

$$z\,dz=y\,dy.$$

Integramos ambos miembros, utilizando integrales indefinidas y obtenemos

$$z^2=y^2\pm c^2,$$ donde la constante de integración se escribió $\pm c^2$ por comodidad (pero sin pérdida de generalidad).

A continuación, transformamos en

$$\frac{dy}{\sqrt{y^2\pm c^2}}=\pm dx.$$

Integrando una vez más (utilizando una tabla de antiderivadas),

$$\text{arcosh}\frac yc=c'\pm x$$ o

$$\text{arsinh}\frac yc=c'\pm x.$$

De esto,

$$y=c\cosh(c'\pm x)$$ o $$y=c\sinh(c'\pm x).$$

Estas son las soluciones más generales de la ecuación dada.

Answer 3

Considere la pregunta

Demuestra que $2$ y $1$ son soluciones de la ecuación cuadrática $y^2-3y+2=0$ .

Sólo tienes que sustituir $y$ con $2$ y $1$ y verificar que se obtiene una igualdad. No encuentras ninguna mención a $y$ en $2$ y $1$ ¿lo haces?

En su problema debe sustituir $y$ con un función y demostrar que se obtiene una igualdad. El símbolo incómodo $$ \frac{d}{dx}\left[\frac{dy}{dx}\right] $$ sólo significa: la segunda derivada de la función (desconocida) $y$ . Se escribe más comúnmente $y''$ .

La derivada de $\cosh(x)$ es $\sinh(x)$ y la derivada de $\sinh(x)$ es $\cosh(x)$ así que básicamente has terminado.

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En realidad se puede demostrar que cada solución de la ecuación $y''=y$ es de la forma $ae^x+be^{-x}$ para algunas constantes $a$ y $b$ .

En efecto, supongamos que $y$ es una solución y se establece $z=y'$ Así que $z'=y$ . Considere $y+z$ Entonces $$ (y+z)'=y'+z'=z+y $$ Ahora, una función $w$ tal que $w'=w$ es de la forma $w=re^x$ : en efecto, $$ (we^{-x})'=w'e^{-x}-we^{-x}=0 $$ así que $we^{-x}=r$ es constante.

De la misma manera, $(y-z)'=y'-z'=z-y$ y una función $w$ satisfaciendo $w'=-w$ es de la forma $se^{-x}$ . Por lo tanto, $$ y=\frac{(y+z)+(y-z)}{2}=\frac{re^x+se^{-x}}{2} $$ y podemos establecer $a=r/2$ y $b=s/2$ .

A la inversa, $(ae^x+be^{-x})'=ae^x-be^{-x}$ y así $(ae^x+be^{-x})''=ae^x+be^{-x}$ .

Cuando $a=b=1/2$ se obtiene $\cosh(x)$ ; cuando $a=1/2$ y $b=-1/2$ se obtiene $\sinh(x)$ .

Answer 4

Obsérvese que si $f$ y $g$ satisfacen la ecuación diferencial también lo hacen $cf+dg$ para cualquier $c,d\in\mathbb{R}$ . Más información: $$ \frac{d^2(e^x)}{dx^2}=e^x;\quad \frac{d^2(e^{-x})}{dx^2}=e^{-x} $$ por lo que el resultado es el siguiente.