La inducción matemática y la función de recuento en $\mathbb{Z}_p^2$

Question

Dejemos que $\mathbb{Z}_p$ sea un campo finito de orden $p$ y $\mathbb{Z}_p^2$ ser un $2$ -espacio vectorial de dimensiones sobre $\mathbb{Z}_p$ . Consideramos la distancia $\lVert \cdot \rVert:\mathbb{Z}_p^2\to \mathbb{Z}_p$ definido por $\lVert {x}\rVert:=x_1^2+x_2^2$ , donde ${x}=(x_1,x_2)$ . Supongamos que $E\subset \mathbb{Z}_p^2$ y considerar la función $$\nu_n(t_1,\dots,t_n)=\#\{(x_1,\dots,x_{n+1})\in E^{n+1}: \lVert x_i-x_{i+1}\rVert=t_i \ \text{for}\ i=1,\dots n\}.$$

Afirmo que $$\nu_n(t_1,\dots,t_n)=\sum \limits_{x_{n+1}\in E}((\dots((E*S_{t_1})E*S_{t_2})\dots)E*S_{t_n})(x_{n+1}),$$ donde por $*$ Denota la convolución $f*g:\mathbb{Z}_p^2\to \mathbb{C}$ de $f,g:\mathbb{Z}_p^2\to \mathbb{C}$ definido por $(f*g)(m)=\sum \limits_{x\in \mathbb{Z}_p^2}f(x)g(m-x).$

He comprobado que esta fórmula es válida para $n=1,2,3,4$ . Pero no puedo demostrarlo por inducción, es decir, tengo problemas con el paso de la inducción.

Estaría muy agradecido si alguien puede mostrar la solución por favor.

EDITAR: Utilizamos $S_t$ para denotar la esfera de radio $t$ en $\mathbb{Z}_p^2$ : así $S_t=\{x\in \mathbb{Z}_p^2: \lVert x\rVert=t\}.$ $E$ es un subconjunto de $\mathbb{Z}_p^2$ y $E^{n+1}$ es sólo un producto cartesiano de $E$ con ella misma $(n+1)$ tiempos. Por $E(x)$ y $S_t(x)$ I denotan funciones indicadoras de $E$ y $S_t$ .

Answer 1

Para $y\in E$ , defina $$ \mu_n(t_1,\ldots,t_n,y)=\#\{(x_1,\ldots,x_n)\in E^n\colon \|x_i-x_{i+1}\|=t_i, $$ donde $x_{n+1}$ se toma como $y$ .

Entonces su $\nu_n(t_1,\ldots,t_n)$ es sólo $\sum_{y\in E}\mu_n(t_1,\ldots,t_n,y)$ . Es fácil ver que para $z\in E$ , $$ \mu_{n+1}(t_1,\ldots,t_n,t_{n+1},z)= \sum_{y\in E, z-y\in S_{t_{n+1}}}\mu_n(t_1,\ldots,t_n,y). $$ Eso es, $$ \mu_{n+1}(t_1,\ldots,t_n,t_{n+1},z)= \big([\mu_n(t_1,\ldots,t_n,\cdot)\mathbf 1_E(\cdot)]*S_{t_{n+1}}\big)(z). $$ Por lo tanto, por inducción, $$ \mu_n(t_1,\ldots,t_n,z)= (\cdots((\mathbf 1_E*S_{t_1})\mathbf 1_E)*S_{t_2})\cdots\mathbf 1_E)*S_{t_n}(z). $$ Su fórmula es la siguiente.