Funciones continuas con las propiedades $\int^{2}_{-1}x^{2n}f(x)\mathrm dx=0$ o $\int^{2}_{-1}x^{3n}f(x)\mathrm dx=0$

Question

Mi pregunta es:

Demuestre que existe un $f \in C[-1,2]$ para que $$\int^{2}_{-1}x^{2n}f(x)\mathrm dx=0$$ para todos $0\leq n\in \mathbb Z$ pero no existe un $f\in C[-1,2]$ tal que $$\int^{2}_{-1}x^{3n}f(x)\mathrm dx=0$$ para todos $0\leq n \in\mathbb Z$ .

Creo que esta pregunta es bastante diferente de $$\int^{1}_{0}x^{n}f(x)\mathrm dx=0$$ por $x^{2n}$ , $x^{3n}$ y el intervalo $[-1,2]$ . He estado pensando en esto durante mucho tiempo, sé que está relacionado con el teorema de Stone-Weierstrass, pero todavía no tengo idea de cómo resolverlo. ¿Puede alguien ayudarme con esta cuestión? Gracias.

Answer 1

Repasa las hipótesis del Teorema de Stone-Weierstrauss. Te das cuenta de que las funciones $x^{2n}$ no separan los puntos, es decir, no separan $x$ y $-x$ . Entonces te das cuenta de que cualquier función impar en $C([-1,2])$ , apoyado en $[-1,1]$ proporciona un ejemplo para la primera pregunta.

Answer 2

Cualquier impar fucnión sobre $[-1,1]$ desapareciendo en los puntos finales ( $(\sin (\pi z)$ por ejemplo) ampliado a $[-1,2]$ haciéndolo $0$ en $[1,2]$ responde a la primera pregunta.

Para la segunda pregunta haga el cambio de variable $y=x^{3}$ . Obtenemos $\int_{-1}^{2^{1/3}} y^{n} g(y)dy=0$ para todos $n \geq 0$ donde $g(y)=\frac 1 3 y^{-2/3}f(y)$ . Esto implica que $g(y)=0$ y por lo tanto $f(y)=0$ para todos $y$ . Seguramente $g$ no es continua pero cualquier función integrable sobre $[a,b]$ con $\int_a^{b} y^{n}g(y)dy=0$ para todos $n \geq 0$ desaparece en casi todas partes (y $f=0$ en casi todas partes implica $f=0$ en todas partes por continuidad).