¿Por qué el polinomio mínimo en $\mathbb{R}[X]$ tienen que tener un grado menor o igual a $2$ ?

Question

Mientras leía esta pregunta vi la respuesta de Ethan. Sin embargo, tal vez esto es muy obvio, pero ¿por qué el grado del polinomio es como máximo $2$ ? Entiendo que el polinomio debe ser irreducible pero ¿eso obliga a que el grado sea como máximo $2$ ?

Answer 1

Cualquier polinomio en $\Bbb R[x]$ factores en lineales y cuadráticos.

Answer 2

Dejemos que $P(X) \in \mathbb R[X]$ sea el polinomio mínimo de $\alpha$ .

Si $\alpha \in \mathbb R$ entonces $X-\alpha |P(X)$ . Desde $X-\alpha \in \mathbb R[X]$ tiene $\alpha$ como raíz, se deduce que $P(X)=X-\alpha$ .

si $\alpha \notin \mathbb R$ entonces $X-\alpha |P(X)$ . Además, $P(\bar{\alpha})=0$ significa $X-\bar{\alpha} |P(X)$ . A partir de aquí, ya que $X-\alpha$ y $X-\bar{\alpha}$ son relativamente primos obtenemos que $(X-\alpha)(X-\bar{\alpha})|P(X)$ .

Ahora, es fácil ver que $(X-\alpha)(X-\bar{\alpha}) \in \mathbb R[X]$ de donde se deduce que $$P(X)= (X-\alpha)(X-\bar{\alpha}) $$

Answer 3

Sabemos que, a lo largo de $\mathbb{C}$ podemos factorizar cualquier polinomio completamente en términos lineales (este es el teorema fundamental del álgebra). Además, se puede demostrar que siempre que $f$ tiene coeficientes reales, entonces $z$ y $\overline{z}$ (el complejo conjugado) debe ambos sean raíces de $f$ .

Ahora, teniendo en cuenta $f \in \mathbb{R}[x]$ lo factorizamos en términos lineales sobre $\mathbb{C}$ . Miramos cada raíz $\alpha$ a su vez. Si es real, entonces $(x-\alpha)$ es un factor de $f$ en $\mathbb{R}$ también. Si tiene una parte compleja, entonces $\overline{\alpha}$ debe ser también una raíz, y entonces $(x - \alpha)(x - \overline{\alpha})$ es una cuadrática con coeficientes reales.

Como estos son los dos únicos casos que pueden darse, hemos factorizado $f$ en partes lineales y cuadráticas.

---

Espero que esto ayude ^_^