¿Qué diferentes aproximaciones dan lugar a las ecuaciones de Einstein del Gravitoelectromagnetismo y del Campo Débil?

Question

Esta pregunta se inspira en esta respuesta que cita Gravitoelectromagnetismo (GEM) como una aproximación válida a las ecuaciones de campo de Einstein (EFE).

La presentación habitual de las ondas gravitacionales es a través de las ecuaciones de campo débil de Einstein presentadas, por ejemplo, en §8.3 de B. Schutz "A first course in General Relativity", o a través de las soluciones exactas de las ondas presentadas, por ejemplo, en §9.2 de B. Crowell "General Relativity" o en §35.9 de Misner, Thorne y Wheeler.

En particular, los WFEE muestran su característica "polarización cuadrupolar" que pueden visualizarse como dilataciones unidireccionales en una dirección transversal seguidas de dilataciones unidireccionales en la dirección transversal ortogonal. Por otro lado, GEM es totalmente análoga a las ecuaciones de Maxwell, con la aceleración gravitacional sustituida por la $\mathbf{E}$ vector y con un $\mathbf{B}$ vector derivado de los retrasos de propagación en el $\mathbf{E}$ campo a medida que las fuentes se mueven.

Mis preguntas:

1. Por lo tanto, los "modos propios" del espacio libre de GEM son ondas planas circularmente polarizadas de la gravedad $\mathbf{E}$ y $\mathbf{B}$ . Esto no parece cuadrar exactamente con la solución WFEE. Así que claramente GEM y WFEE son aproximaciones diferentes, que probablemente se mantienen en diferentes supuestos de aproximación, aunque puedo ver que un vector de polarización giratorio podría ser interpretado como un eigenvector variable en el tiempo para un $2\times 2$ matriz de dilatación. ¿Cuáles son los diferentes supuestos que validan el uso de las dos teorías, respectivamente?
2. La página de Wikipedia sobre GEM nos dice que GEM está escrito en marcos no inerciales, sin decir más. ¿Cómo se describen estos marcos no inerciales? ¿Son, por ejemplo, estacionarios con respecto al centro de masa del problema, como para la gravedad newtoniana? Parece que hay muy pocas formas independientes de las coordenadas de la RG para describir, cuando se piensa en la RGE como una aproximación a la RFE completa, una salida de un marco inercial. No se puede decir "sentarse en el marco inercial, y luego salir disparado hacia el Norte desde allí con cierta aceleración".
3. ¿Existe algún resultado experimental que la RG completa explique y que GEM aún no? Supongo que se tratará de movimientos a gran escala de cuerpos astronómicos.
4. Aquí me disculpo por ser ignorante de la historia de la física y también porque en este momento estoy tratando de rehabilitar mi RG después de veinte años, así que esto puede ser una ingenuidad: si la RG puede en ciertos casos reducirse a análogos de las ecuaciones de Maxwell, ¿qué pasa al revés: hay alguna teoría que trate de invertir la aproximación de la RG a la GEM, pero empezando con las ecuaciones de Maxwell en su lugar y llegando a una descripción de la RG para la EM? Sé que Hermann Weyl hizo algo así -nunca entendí exactamente lo que hacía, pero ¿es esto esencialmente lo que hizo?

Actualmente estoy investigando este tema, a través de este documento y este Así que es probable que pueda responder a mis propias preguntas 1. y 2. en un futuro no muy lejano. Mientras tanto, pensé que podría ser interesante si alguien que ya conoce estas cosas puede responder - esto ayudará a mi propia investigación, acelerar mi propia comprensión y también compartirá alrededor del conocimiento de un tema interesante.

Answer 1

1. En esta respuesta, adoptamos el punto de vista de que el GEM Las ecuaciones no son un primer principio por sí mismas, sino que sólo pueden justificarse a través de un límite apropiado (a determinar) de la linealizado EFE $^1$ en 3+1D $$ \begin{align} \kappa T^{\mu\nu}~\stackrel{\text{EFE}}{=}~& G^{\mu\nu}\cr ~=~&-\frac{1}{2}\left(\Box \bar{h}^{\mu\nu} + \eta^{\mu\nu} \partial_{\rho}\partial_{\sigma} \bar{h}^{\rho\sigma} - \partial^{\mu}\partial_{\rho} \bar{h}^{\rho\nu} - \partial^{\nu}\partial_{\rho} \bar{h}^{\rho\mu} \right) ,\cr \kappa~\equiv~&\frac{8\pi G}{c^4}, \end{align}\tag{1}$$ donde $$ \begin{align}g_{\mu\nu}~&=~\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}, \cr \bar{h}_{\mu\nu}~:=~h_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}h \qquad&\Leftrightarrow\qquad h_{\mu\nu}~=~\bar{h}_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}\bar{h}. \end{align} \tag{2}$$

2. Puede haber otros enfoques que desconocemos, pero leyendo la Ref. 1, el límite GEM pertinente parece ser de naturaleza estática E&M, por lo que parece excluir las ondas/radiación gravitacionales.

3. Concretamente, se supone que la materia es polvo : $^2$ $$ T^{\mu 0}~=~cj^{\mu}, \qquad j^{\mu}~=~\begin{bmatrix} c\rho \cr {\bf J} \end{bmatrix}, \qquad T^{ij}~=~{\cal O}(c^0). \tag{3}$$

4. La única manera de implementar sistemáticamente un sector temporal dominante/límite estático parece ser pasando al gauge de Lorenz $^3$ $$\partial_{\mu} \bar{h}^{\mu\nu} ~=~0. \tag{4}$$ Entonces el EFE linealizado (1) se simplifica a $$ G^{\mu\nu}~=~-\frac{1}{2}\Box \bar{h}^{\mu\nu}~=~\kappa T^{\mu\nu}. \tag{5}$$

5. En nuestra convención, el GEM ansatz dice $^5$ $$\begin{align} A^{\mu}~=~&\begin{bmatrix} \phi/c \cr {\bf A} \end{bmatrix}, \qquad\bar{h}^{ij}~=~{\cal O}(c^{-4}),\cr -\frac{1}{4}\bar{h}^{\mu\nu} ~=~&\begin{bmatrix} \phi/c^2 & {\bf A}^T /c\cr {\bf A}/c & {\cal O}(c^{-4})\end{bmatrix}_{4\times 4}\cr ~\Updownarrow~& \cr -h^{\mu\nu} ~=~&\begin{bmatrix} 2\phi/c^2 & 4{\bf A}^T/c \cr 4{\bf A}/c & (2\phi/c^2){\bf 1}_{3\times 3}\end{bmatrix}_{4\times 4} \cr ~\Updownarrow~& \cr g_{\mu\nu} ~=~&\begin{bmatrix} -1-2\phi/c^2 & 4{\bf A}^T/c \cr 4{\bf A}/c & (1-2\phi/c^2){\bf 1}_{3\times 3}\end{bmatrix}_{4\times 4}. \end{align}\tag{6}$$

6. La galga gravitacional de Lorenz (4) corresponde a la Condición de calibre de Lorenz $$ c^{-2}\partial_t\phi + \nabla\cdot {\bf A}~\equiv~ \partial_{\mu}A^{\mu}~=~0 \tag{7}$$ y el "límite electrostático" $^4$ $$ \partial_t {\bf A}~=~{\cal O}(c^{-2}).\tag{8}$$

7. A continuación, defina la intensidad de campo $$\begin{align} F_{\mu\nu}~:=~&\partial_{\mu} A_{\nu} - \partial_{\nu} A_{\mu}, \cr -{\bf E}~:=~&{\bf \nabla} \phi+\partial_t{\bf A}, \cr {\bf B}~:=~&{\bf \nabla}\times {\bf A}.\end{align} \tag{9} $$ Entonces los sectores tempotemporal y espaciotemporal de la EFE linealizada (1) se convierten en las ecuaciones gravitacionales de Maxwell con fuentes $$ \partial_{\mu} F^{\mu\nu}~=~\frac{4\pi G}{c}j^{\mu}. \tag{10} $$ Obsérvese que el campo gravitatorio (eléctrico) ${\bf E}$ debe ser hacia adentro (hacia afuera) para una masa (carga) positiva, respectivamente. Por esta razón, en esta respuesta/ Wikipedia las ecuaciones del GEM (10) y el Ecuaciones de Maxwell tienen la diferencia $^5$ signos.

8. Curiosamente, una transformación gauge gravitacional de la forma $$\begin{align}\delta h_{\mu\nu}~=~&\partial_{\mu}\varepsilon_{\nu}+(\mu\leftrightarrow\nu), \cr \varepsilon_{\nu}~:=~&c^{-1}\delta^0_{\nu}~\varepsilon, \end{align}\tag{11} $$ lleva a $$\delta h~=~-2c^{-1}\partial_0\varepsilon \tag{12}$$ y por tanto a las transformaciones gauge habituales $$\delta A_{\mu}~=~\partial_{\mu}\varepsilon.\tag{13}$$ Estas transformaciones gauge (13) preservan las ecuaciones GEM (10) pero violan el ansatz GEM $\bar{h}^{ij}={\cal O}(c^{-4})$ a menos que $$\partial_t\varepsilon~=~{\cal O}(c^{-2}).\tag{14}$$ En conclusión, la condición del gauge de Lorenz (7) no es necesaria, pero parece que nos quedamos con el "límite electrostático" (8).

Referencias:

1. B. Mashhoon, Gravitoelectromagnetismo: Una breve revisión, arXiv:gr-qc/0311030 .

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$^1$ En esta respuesta utilizamos la convención de signos de Minkowski $(-,+,+,+)$ y trabajar en el sistema SI. Índices espaciales $i,j,\ldots \in\{1,2,3\}$ son letras romanas, mientras que los índices del espaciotiempo $\mu,\nu,\ldots \in\{0,1,2,3\}$ son letras griegas.

$^2$ Advertencia: El $j^{\mu}$ actual (3) hace no se transforman covariantemente bajo los impulsos de Lorentz. Los marcos no inerciales que Wikipedia menciones son presumiblemente porque el $g_{\mu\nu}$ -La métrica (2) no es minkowskiana.

$^3$ La galga de Lorenz (4) es la linealizada de Donder/calibre armónico $$ \partial_{\mu}(\sqrt{|g|} g^{\mu\nu})~=~0.\tag{15}$$

$^4$ De forma poco convencional, llamamos a la ec. (8) el "límite electrostático", ya que el término $\partial_t{\bf A}$ entra en la definición (9) de ${\bf E}$ .

$^5$ Advertencia: En Mashhoon (Ref. 1) las ecuaciones de GEM (10) y las ecuaciones de Maxwell tienen el mismo signo. Para comparar, en esta respuesta de Phys.SE $$\phi~=~-\phi^{\text{Mashhoon}}, \qquad {\bf E}~=~-{\bf E}^{\text{Mashhoon}}, $$ $${\bf A}~=~-\frac{1}{2c}{\bf A}^{\text{Mashhoon}}, \qquad {\bf B}~=~-\frac{1}{2c}{\bf B}^{\text{Mashhoon}}.\tag{16}$$