Continuidad en la topología de la caja

Question

Supongamos que $f:[0,1]\rightarrow [0,1]^{\mathbb{N}}$ con $f(x)=(x,x,x,x,..)$ ¿Entonces esta función es continua en la topología de caja? Donde la topología de caja es generada por $\mathcal{B}=\left\{\prod_{n\in\mathbb{N}}U_{n}:U_{n} \ \text{is open in} \ [0,1]\right\}$ .

Answer 1

No, no lo es. Elige una secuencia de subconjuntos abiertos $(U_n)_{n\in\mathbb N}$ de $[0,1]$ tal que $\bigcap_{n\in\mathbb N}U_n$ es no abierto. Pero $\bigcap_{n\in\mathbb N}U_n=f^{-1}\left(\prod_{n\in\mathbb N}U_n\right)$ .

Answer 2

No lo es: Definir $U_n := (\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}, \frac{1}{2}+\frac{1}{n+1})$ . Entonces por su base $U := \prod_{n}{U_n}$ será un conjunto abierto en $[0,1]^\mathbb{N}$ . Pero como $\frac{1}{n+1} \to 0$ uno tiene $f^{-1}(U) = \{\frac{1}{2}\}$ que no está abierto en $[0,1]$ .

Answer 3

Consideremos la secuencia convergente en $[0, 1]$ , $a_n = \frac{1}{n} \to 0$ . Sin embargo, $f(a_n) \not\to f(0) = (0, 0, \ldots)$ como $n \to \infty$ ya que para todo $n$ , $f(a_n) \notin \prod_{k=1}^\infty [0, \frac{1}{k})$ que es una vecindad de $(0, 0, \ldots)$ en la topología de caja.

Por lo tanto, $f$ no es continua (en particular, esto demuestra que $f$ no es continua en 0, y un argumento similar debería mostrar $f$ no es continua en ningún punto).