¿Qué tipo de grupos genera una sola clase de conjugación?

Question

Para aclarar, no estoy buscando una clasificación sino ejemplos bien investigados de familias de grupos (finitamente generados) generados por una sola clase de conjugación.

A continuación, una recopilación de ejemplos, algunos de ellos extraídos de las respuestas y los comentarios.

1. Dejemos que $W$ sea un grupo Coxeter con presentación $$\langle s_1, \dots, s_n \;|\; (s_is_j)^{m_{ij}} \rangle,$$ con $m_{ii} = 1$ y $2 \leq m_{ij} = m_{ji} \leq \infty$ siempre que $i \neq j$ (la relación $(s_is_j)^\infty$ significa "sin relación"). Supongamos que el gráfico $G$ con vértices $s_1, \dots, s_n$ y los bordes entre $s_i$ y $s_j$ siempre que $m_{ij}$ es finito e impar, es conectado. Entonces, todos los $s_i$ son conjugados y por lo tanto $W$ es generada por una única clase de conjugación, de alguna manera distinguida. Entre los grupos específicos de esta familia se encuentran los grupos diedros $D_m$ para impar $m$ (los grupos obtenidos cuando $n=2$ ) y los grupos de simetría $S_n$ (dejando $m_{i(i+1)} = 3$ y todos los demás $m_{ij} = 2$ ).
2. Grupos de trenzas $B_n$ (o más generalmente grupos de Artin para los que el el mismo criterio sobre los pesos no diagonales que el anterior) también satisfacen que todos los generadores estándar sean conjugados.
3. Los grupos de clases de mapeo de superficies son generados por un número finito de giros de Dehn conjugados alrededor de curvas no separadas.
4. Los grupos de nudos están generados por un número finito de meridianos.

¿Se le ocurre alguna otra familia?

Answer 1

Los generadores habituales de Humphries para el grupo de clases de mapeo son giros de Dehn sobre curvas no separadas, y por lo tanto todos conjugados.

Creo que algo parecido debería ocurrir con Out $(F_n)$ el grupo de automorfismo exterior de un grupo libre de rango $n$ . Los generadores Nielsen son no todos conjugados (algunos tienen orden finito mientras que otros no), pero me sorprendería que algún subconjunto más pequeño de los generadores de Nielsen no fuera suficiente.

Si $G$ es un grupo libre de torsión, un resultado de Higman, Neumann y Neumann dice que $G$ se incrusta en un grupo mayor que tiene una clase de conjugación de elementos no triviales.

Obsérvese que la afirmación de que los generadores $g$ y $h$ son conjugados abelianamente a la afirmación de que la imagen de $g$ es igual a la imagen de $h$ . Así que una condición necesaria para $G$ para ser generada por una sola clase de conjugación es que $G$ tiene abelianización cíclica. (El grupo de Thompson $F$ por lo tanto, no es un ejemplo). Me gustaría saber si hay ejemplos en los que $G$ tiene abelianización cíclica pero $G$ es no generado por una sola clase de conjugación.

Answer 2

Dado el grupo de clases de mapeo de una superficie cerrada, hay muchos elementos cuyo cierre normal es el grupo completo.

Ver este artículo de Lanier y Margalit para más detalles.

Answer 3

Por cada $n\geq2$ Denis Osin construyó una clase incontable de grupos generados finitamente, cada uno de los cuales contiene precisamente $n$ clases de conjugación de elementos. Por lo tanto, el $n-1$ las clases de conjugación no triviales generan el grupo, ya que son el grupo entero, ¡menos la identidad! Este es el Corolario 1.4 del artículo Osin, Denis. "Pequeñas cancelaciones sobre grupos relativamente hiperbólicos y teoremas de incrustación". Anales de Matemáticas 172.1 (2010): 1-39.

Tomando $n=2$ entonces da una clase de grupos que son generados por una sola clase de conjugación. En este caso, los grupos son de dos generaciones (en el sentido habitual; véase su Corolario 1.3) y tienen precisamente dos clases de conjugación, por lo que todos los elementos no triviales son conjugados. Demostrar la existencia de estos grupos generados finitamente era un problema abierto en aquel momento.