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Si dos mapas de Fredholm están en la misma componente conectada, entonces están conectados por un camino

Dejemos que $F,G$ sean dos mapas de Fredholm de un espacio de Hilbert $H$ a sí mismo, y que $Fred(H)$ denotan el espacio de todos los operadores de este tipo. Sé que el espacio de operadores acotados invertibles sobre $H$ es un camino conectado.

Tengo que demostrar con ella que si $F$ y $G$ se encuentran en la misma componente conexa de $Fred(H)$ entonces hay un camino continuo que conecta los operadores. Ya he podido demostrar que $F$ y $G$ tienen el mismo índice si y sólo hay un camino que los conecta, por lo que quizás sea más conveniente demostrar que si están en la misma componente conectada entonces tienen el mismo índice.

Sin embargo, estoy más o menos atascado. Se agradece cualquier sugerencia.

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coudy Puntos 153

$Fred(H)$ es un subconjunto abierto del conjunto de operadores acotados en $H$ que a su vez está conectado por un camino. Incluso es un espacio vectorial.

Entonces se puede aplicar un resultado general que afirma que un conjunto abierto $U$ en un espacio conectado por caminos tiene componentes conectados por caminos. Esto se demuestra considerando el conjunto de puntos que pueden ser conectados por un camino a un punto dado. Dicho conjunto será abierto, al igual que su complemento en $U$ .

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