En el libro de John Lee Múltiples riemannianos En la página 33, Lee escribe "Es evidente que una variedad riemanniana homogénea que es isótropa en un punto es isótropa en todos los puntos".
Parece que quiere decir que concluyó esto a partir del siguiente argumento: Supongamos una variedad riemanniana $(M, g)$ es isotrópico en $p \in M$ y homogénea, y tomar $q \in M$ , $v, w \in T_q M$ con $g_q(v, v) = g_q(w, w) = 1$ . Porque $M$ es homogéneo, existe un grupo de Lie $G$ que actúa de forma suave y transitoria sobre $M$ por isometrías, por lo que podemos encontrar $x \in G$ tal que $x \cdot q = p$ Por lo tanto $x_* v, x_*w \in T_qM$ . Porque $M$ es isotrópico en $p$ existe otro grupo de Lie $H$ actuando sobre $M$ suavemente por isometrías tales que el subgrupo de isotropía $H_p \subseteq H$ actúa transitoriamente sobre $T_pM$ por lo que existe $y \in H$ tal que $y_*(x_* v) = x_* w$ . Entonces tendríamos $(x^{-1}yx)_*v = w$ como se desee. Sin embargo, Lee no especifica en las definiciones de homogeneidad e isotropía que $G, H$ tienen que ser el mismo grupo de Lie, así que no estoy seguro de por qué hay un grupo de Lie que actúa suavemente por isometrías en $M$ que contiene todos los elementos de la forma $x^{-1}yx$ , donde $x \in G$ , $y \in H$ .
No quiero utilizar el hecho de que el grupo de isometría de cualquier variedad riemanniana puede convertirse en un grupo de Lie, ya que este hecho está fuera del alcance de este capítulo, y se supone que es bastante difícil de demostrar. Una solución en la que estaba pensando era quizás utilizar un coproducto (producto libre) de los grupos de Lie $G, H$ pero no estaba seguro de cómo dar a esto una topología o estructura suave. ¿Hay alguna forma mejor de terminar el argumento anterior?
