¿La suma directa contable de espacios reflexivos es reflexiva?

Question

Dejemos que $(X_n)$ sea una secuencia de espacios reflexivos. Definimos el $\ell_2$ -suma directa $\bigoplus_n X_n$ como el espacio normado con elementos $(x_n)\in \prod_n X_n$ tal que $$ \|(x_n)\|=\left(\sum_{n}\|x_n\|^2\right)^{\frac{1}{2}}<\infty. $$

Es $\bigoplus_n X_n$ ¿reflexivo? ¿Y si definimos análogamente un $\ell_p$ -suma directa para un $p$ ?

Gracias.

Answer 1

Dejemos que $1<p<\infty$ con $\frac1p+\frac1q=1$ y que los espacios vectoriales normados $X_1, X_2, \dots$ se le dará. Definir el $\ell_p$ suma directa $\bigoplus_i^{\ell_p} X_i$ . Afirmamos que existe un isomorfismo isométrico $\psi: \left(\bigoplus_i^{\ell_p} X_i\right)' \to \bigoplus_i^{\ell_q} X_i'.$ De esto se deduce inmediatamente que si el $X_i$ son reflexivos entonces también lo son $\bigoplus_i^{l^p} X_i$ .

Obsérvese que las inclusiones $X_i \to \bigoplus_j^{\ell_p} X_j$ son isométricos, por lo que podemos identificar cada $X_i$ con su imagen en $\bigoplus_j^{\ell_p} X_j$ . Dada una función lineal acotada $f$ en $\bigoplus_i^{\ell_p} X_i$ , $f$ se restringe a los funcionales lineales acotados $f_i$ en $X_i$ . Definir $\psi$ por $f \mapsto \sum_{i=1}^\infty f_i$ . Pero debemos demostrar que $\psi$ en realidad se mapea en $\bigoplus_i^{\ell_q} X_i'$ es decir, que $\sum_i \|f_i\|^q<\infty$ . Fijar una constante positiva $C<1$ . Elija $x_i\in X_i$ tal que $\|x_i\|=1$ y $f_i(x_i) \geq C\|f_i\|$ . Para cada $n\geq 1$ definir un elemento $y_n \in \bigoplus_j^{\ell_p} X_j$ por $$y_n=\sum_{i=1}^{n} \frac{\|f_i\|^{q/p}}{\left(\sum_{j=1}^n \|f_j\|^q\right)^{1/p}}x_i,$$ para que $$\|y_n\|^p = \sum_i \left\|\frac{\|f_i\|^{q/p}}{\left(\sum_{j=1}^n \|f_j\|^q\right)^{1/p}}x_i\right\|^p =\sum_i \frac{\|f_i\|^q}{\sum_{j=1}^n \|f_j\|^q}\|x_i\|^p = 1 $$ Y, \begin{align*} \|f\| \geq f(y_n) &= \sum_{i=1}^n \frac{\|f_i\|^{q/p}}{\left(\sum_{j=1}^n \|f_j\|^q\right)^{1/p}}f_i(x_i)\\ &\geq \sum_{i=1}^n \frac{\|f_i\|^{q/p}}{\left(\sum_{j=1}^n \|f_j\|^q\right)^{1/p}}C\|f_i\|\\ &= C \sum_{i=1}^n \frac{\|f_i\|^{q/p+1}}{\left(\sum_{j=1}^n \|f_j\|^q\right)^{1/p}}\\ &= C \sum_{i=1}^n \frac{\|f_i\|^{q}}{\left(\sum_{j=1}^n \|f_j\|^q\right)^{1/p}}\\ &= C \left(\sum_{j=1}^n \|f_j\|^q\right)^{1/q} %\to C \left(\sum_{j=1}^\infty \|f_j\|^q\right)^{1/q} \end{align*} Tomando el límite como $n\to\infty$ muestra que $(\sum_{j=1}^\infty \|f_j\|^q)^{1/q}\leq C^{-1}\|f\| < \infty$ según sea necesario. Tomando el límite como $C\to 1$ muestra que $\|\psi(f)\|=(\sum_{j=1}^\infty \|f_j\|^q)^{1/q}\leq \|f\|$ para que $\|\psi\| \leq 1$ .

Ahora define un mapa en la dirección opuesta, $\phi : \bigoplus_i^{\ell_q} X_i' \to \left(\bigoplus_i^{\ell_p} X_i\right)'$ , por $\phi(\sum_{i=1}^\infty f_i)(\sum_{j=1}^\infty x_j)_= \sum_{i=1}^\infty f_i(x_i)$ , para $f_i\in X_i'$ y $x_i\in X_i$ . Tenemos que demostrar que los funcionales lineales $\phi(\sum_{i=1}^\infty f_i)$ están acotados. Esto se deduce de la desigualdad de Holder : \begin{align*} \left|\phi\left(\sum_{i=1}^\infty f_i\right)\left(\sum_{j=1}^\infty x_j\right)\right| &= \left|\sum_{i=1}^{\infty} f_i(x_i)\right| \\ &\leq \sum_{i=1}^\infty \|f_i\|\|x_i\| \\ &\leq \left(\sum_{i=1}^{\infty}\|f_i\|^q \right)^{1/q} \left(\sum_{i=1}^{\infty}\|x_i\|^p \right)^{1/p} \\ &= \left\|\sum_{i=1}^\infty f_i\right\|\left\|\sum_{j=1}^\infty x_j\right\| \end{align*} que muestra que $\phi\left(\sum_{i=1}^\infty f_i\right)$ está acotado, con $\|\phi\| \leq 1$ . Ahora, es sencillo comprobar que $\phi$ y $\psi$ son inversas entre sí. Entonces, como $\|\phi\|\leq 1$ y $\|\psi\|\leq 1$ tenemos $1 = \|\phi \circ \psi\| \leq \|\phi\|\|\psi\| \leq \|\phi\| \leq 1$ para que $\|\phi\|=1$ y con un argumento similar $\|\psi\|=1$ . Así, $\phi$ y $\psi$ son isomorfismos isométricos.