Interpretación de los coeficientes de regresión cuando la variable de resultado es una función seno hiperbólica inversa

Question

Acabo de aprender que cuando hay valores cero o negativos, una buena alternativa al uso de una función logarítmica es la función seno hiperbólico inverso.

Cuando se utiliza la transformación logarítmica en la variable dependiente, como en log(y)=x+, la interpretación de es 1 unidad de cambio en x = (100)% de cambio en y.

Asimismo, ¿cuál sería la interpretación de si la regresión es asinh(y)=x+?

Answer 1

La interpretación no es tan fácil como en el caso de la semielasticidad logarítmica lineal, pero existe un buen documento de trabajo de Marc Bellemare y Casey Wichman sobre Elasticidades y la transformación hiperbólica inversa del seno que cubre algo de esto en la sección 2.2.

En un modelo como

$$ \DeclareMathOperator{\asinh}{asinh} \asinh ( y)= \alpha + \beta \cdot x+ \varepsilon,$$

puedes recuperar $y$ como

$$\DeclareMathOperator{\sinh}{sinh} y= \sinh ( \alpha +\beta \cdot x+ \varepsilon).$$

Entonces, tomando la derivada con respecto a $x$ , $$\frac{\partial y}{\partial x} = \beta\cdot \cosh(\alpha +\beta \cdot x+ \varepsilon) = \beta\cdot \cosh(\asinh(y))= \beta \cdot \sqrt{y^2+1}.$$

Multiplicando esto por $\frac{x}{y}$ obtenemos la elasticidad estándar de $y$ con respecto a $x$

$$\epsilon=\frac{\partial y}{\partial x}\cdot\frac{x}{y}=\beta \cdot x \cdot \frac{\sqrt{y^2+1}}{y}=\beta \cdot x \cdot \sqrt{\frac{{y^2+1}}{y^2}}=\beta \cdot x \cdot \sqrt{1+\frac{1}{y^2}}.$$

Esto parece desordenado, pero cuando $y$ se hace grande en valor absoluto, $\sqrt{1+\frac{1}{y^2}} \rightarrow 1,$ así que puedes ignorar el último término y centrarte en $$\epsilon \approx \beta \cdot x.$$ Se puede introducir la media $x$ en eso o evaluarlo en función de $x$ para algunos valores interesantes de $x$ . Como esto es sólo una transformación lineal de $\beta$ calcular los SEs es bastante fácil.

También se puede calcular la elasticidad media:

$$\epsilon=\sum_i^N \hat \beta \cdot x_i \cdot \frac{\sqrt{\hat y_i^2+1}}{\hat y_i},$$

o evaluarlo en valores interesantes de $x$ y otras covariables. Esto tiene la interpretación de un cambio porcentual en las expectativas $y$ para un cambio del 1% en $x$ . Al tratarse de una función no lineal, los SE son más difíciles.

Si se quiere mantener la interpretación de la semielasticidad, el

$$\epsilon^*=\frac{\partial y}{\partial x}\cdot\frac{1}{y}=\beta \cdot \sqrt{1+\frac{1}{y^2}}.$$

Puede multiplicar esto por 100 para obtener el porcentaje de cambio esperado en $y$ para un aumento de 1 unidad en $x$ .