Si $f \neq 0$ es un funcional continuo lineal en el espacio de Hilbert, ¿es posible que $f(v_n) \to 0$ y $\|v_n\| \to \infty$

Question

Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert de dimensión infinita sobre el plano complejo $\mathbb{C}$

Dejemos que $f: H \to \mathbb{C}$ sea una función lineal continua sobre $H$ tal que $f \neq 0$

Dejemos que $\{v_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset H$ sea una secuencia en $H$ tal que $\|v_n\| \to \infty$

Mi pregunta: ¿Es posible que $f(v_n) \to 0$ ?

Gracias.

Answer 1

Es posible. Elija $x\in\ker f$ , $y\notin\ker f$ normalizado con $x\perp y$ . Sea $z_n= nx+\frac1ny$ . Entonces $\|z_n\|\to\infty$ y $f(z_n)=\frac1nf(y)\to0$ .