Considere la siguiente función que es una función $C^{\infty}$. $$ f(t) = \begin{cases} 0 & t \leq 0 \\ e^{-1/t} & t > 0 \end{cases} $$
Podemos verificar que la serie de Taylor en $0$ de $f$ es idénticamente cero porque todas sus derivadas tienen la forma $\frac{e^{-1/t}}{t^n}$, las cuales tienden a $0$ cuando $t \rightarrow 0$. Sin embargo, podemos verificar que $$\lim_{t \rightarrow \infty}\ f(t) = 1.$$
¿Cómo es que $f$ incluso "comienza" desde $0$ si todas sus derivadas son $0$?
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Empieza, simplemente comienza más lento que cualquier polinomio $t^n$, de exactamente la misma manera en que $e^t$ (eventualmente) crece más rápido que cualquier polinomio $t^n$. También tenga en cuenta que $C^\infty$ no significa en general "expandible en serie de Taylor". Eso sería lo que generalmente se llama "analítico", y es mucho más restrictivo.
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@Arthur: Sí, no es expandible en Taylor. Además, por favor explique su respuesta de manera rigurosa si es posible.
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El texto es un poco desafortunado. La función tiene una expansión de Taylor, pero lamentablemente no coincide con ella.
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Para obtener una respuesta rigurosa a "cómo comienza", probablemente necesitarás dar una definición rigurosa de "comenzar".
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@SandeepSilwal - Arthur significa que si $P$ es un polinomio con $P(0) = 0$ y $P(t) > 0$ para $t \in (0,\delta)$ para algún $\delta > 0$, entonces existe un $\epsilon > 0$ tal que $0 < f(t) < P(t)$ en $(0,\epsilon)$
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Esto es un ejemplo de una función real $C^{\infty}$ que no puede extenderse a una función analítica en $\mathcal C$.