Aclaraciones sobre la prueba de que los puntos fijos de orden $p$ , $i_p(G)\equiv -1\pmod{p}$

Question

Estoy leyendo este artículo de Marcel Herzog en jstor: http://www.jstor.org/stable/2040939?seq=1

Quiero hacer un seguimiento de algunas cosas sobre la breve prueba del Teorema 1, que se encuentra en la parte inferior de la página 1 del pdf.

La prueba se lleva a cabo $E$ para ser un abeliano elemental $p$ -grupo de orden máximo, ¿cómo podemos estar seguros de que existe uno?

Entiendo que cada órbita divide la orden de $E$ por el teorema del estabilizador de la órbita, entonces ¿por qué $i_p(G)\equiv f\pmod{p}$ ?

Aquí $i_p(G)$ es el número de elementos de orden $p$ en $G$ y $f$ es el número de puntos fijos en el conjunto de elementos de orden $p$ cuando se actúa mediante la conjugación de $E$ .

Answer 1

No estoy seguro de entender tu primera pregunta. Todo grupo finito contiene abelios elementales p -grupos de máximo orden ya que el subgrupo identidad es un abeliano elemental p -y por tanto se aplica el lema de Zorn para conjuntos finitos.

Para tu segunda pregunta, esto es igual que la ecuación de clase para demostrar una no identidad p -grupo tiene un centro no identitario. Cada órbita tiene un orden de una potencia de p por lo que hay dos tipos de órbitas: aquellas en las que la potencia es 0 (los puntos fijos, órbitas de tamaño 1), y aquellas en las que la potencia es positiva (aquellas órbitas cuyo orden es divisible por p ). Mod p todas las órbitas del segundo tipo desaparecen, y por lo tanto el número total de puntos, i _{<em>p </em>} ( G ), es equivalente mod p al número de órbitas del primer tipo, f .

El documento en cuestión es:

• Herzog, Marcel. Contar elementos de grupos de orden p modulo p 2 . Proc. Amer. Math. Soc. 66 (1977), no. 2, 247-250. MR 466316 DOI: 10.2307/2040939