¿Cómo implica el Principio de Equivalencia un Espacio-Tiempo Curvo?

Question

Estoy un poco confundido en cuanto a cómo el Principio de Equivalencia implica un espaciotiempo curvo. O si no implica un espacio-tiempo curvo, entonces ¿qué es exactamente lo que hace necesario tener un espacio-tiempo curvo?

Podría muy bien tener marcos inerciales locales en el espaciotiempo plano en coordenadas arbitrarias. Las partículas sobre las que sólo actúa la gravedad podrían seguir trayectorias curvas en el espaciotiempo plano y su las trayectorias serían rectas localmente .

Entonces, ¿qué es exactamente lo que obliga al colector a estar curvado? ¿Cómo se llega exactamente al resultado de que nuestro espaciotiempo debe ser curvo ?

¿Por qué no estudiar la gravedad como un campo de fuerza de fondo en un espacio-tiempo plano?

Editar después de la respuesta :

¿Por qué podemos suponer que las líneas del mundo de las partículas en caída libre son curvo y no recto, sino en un espacio-tiempo plano?

Entonces la divergencia de las geodésicas que se explica por el Tensor de Riemann no necesitaría esa explicación. Dos cuerpos que caen podrían muy bien acercarse el uno al otro porque sus mundos estarían curvados en el espaciotiempo plano.

¿Por qué no modelamos la gravedad como un campo de fuerza externo en un espaciotiempo plano al igual que otros campos de fuerza?

Answer 1

Primero, considera el espaciotiempo sin gravedad. Los objetos inerciales tienen líneas del mundo que son líneas rectas en el espacio-tiempo y los acelerómetros miden cuánto se curva una línea del mundo en el espacio-tiempo, con una lectura del acelerómetro de cero correspondiente a una línea del mundo recta de un objeto inercial. Es importante destacar que los objetos inerciales en reposo tienen líneas del mundo paralelas y nunca se cruzan.

Ahora bien, un marco inercial consiste en una rejilla de coordenadas de líneas rectas en el espaciotiempo, y un marco de aceleración consiste en una rejilla de coordenadas de líneas que se curvan en la dirección de la aceleración. La descripción de la línea recta del mundo de un objeto inercial en las coordenadas de aceleración produce una fuerza ficticia (símbolos de Christoffel). Por el principio de equivalencia esa fuerza ficticia es localmente equivalente a la gravedad. Dado que las fuerzas ficticias no cambian el hecho de que una línea del mundo inercial (lectura 0 del acelerómetro) es recta, tampoco la gravedad puede hacer que una línea del mundo deje de serlo. De lo contrario, la gravedad no sería localmente equivalente a una fuerza ficticia.

Luego, extiende esas ideas a un espaciotiempo global con gravedad. Los objetos en caída libre tienen acelerómetros que leen cero, por lo que sus líneas del mundo son rectas. Pero dos objetos en caída libre, inicialmente en reposo uno respecto del otro, pueden llegar a cruzarse. Por tanto, tenemos líneas rectas que son inicialmente paralelas entre sí, pero que acaban intersectándose. Esto es imposible en un espaciotiempo plano, pero ocurre fácilmente en un espaciotiempo curvo.

El principio de equivalencia sólo se aplica localmente en pequeñas regiones donde la gravedad es aproximadamente uniforme y el espaciotiempo es aproximadamente plano. En grandes regiones del espaciotiempo la gravedad no es uniforme, y es esa gravedad no uniforme (gravedad de marea) la que constituye la curvatura del espaciotiempo.

Answer 2

Un observador en un marco uniforme acelerado, que es el ejemplo típico del principio de equivalencia, tiene un espaciotiempo plano.

Pero es difícil imaginar un montón de materia que pueda generar un campo así. La materia tiende a concentrarse en una forma aproximadamente esférica, generando un campo no uniforme, donde el tensor de Riemann no es cero.

Answer 3

La mejor respuesta sencilla que he encontrado para esto está en The Feynman Lectures.

Por el principio de equivalencia, los relojes situados a diferentes alturas miden el tiempo a diferente velocidad.

[En un cohete que acelera a g, (Tasa de recepción a la altura H)=(Tasa de emisión)( $1+gH/c^2$ )]

Pero eso no te da la curvatura. Para llegar a la curvatura, Feynman te pide que consideres dos trayectorias en el espaciotiempo que se encuentren si no había gravedad. El primer camino es a lo largo del eje del tiempo 100 segundos hasta B. No te mueves en el espacio; sólo en el tiempo. Luego subes en el espacio H pies hasta el punto D. El segundo camino es en el espacio H pies hasta el punto C. Luego esperas 100 segundos. Encontrarás que no estás en el punto D en el espacio-tiempo. Porque el tiempo fue más rápido en la altura H. Esa es la curvatura del espaciotiempo.

Las Conferencias Feynman. Volumen 2. Capítulo 42.

https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_42.html

Por lo tanto, el principio de equivalencia por sí solo no te da la curvatura del espacio-tiempo. Para obtener la curvatura hay que comparar también diferentes regiones del espaciotiempo.

¿Por qué no modelamos la gravedad como un campo de fuerza externo en un espacio-tiempo plano al igual que otros campos de fuerza?

La dificultad que tenía Einstein era que necesitaba una teoría relativista. Y también quería que explicara el efecto de la gravedad sobre la luz. No es fácil llegar a esa teoría de campo de la gravedad. Son suposiciones restrictivas. Y luego su teoría fue confirmada por los experimentos.

También hay modelos de pequeñas zonas del espaciotiempo como newtonianos. Las "fuerzas" de marea de la RG se modelan como fuerzas regulares. La teoría de Newton también es una aproximación de la RG. Pero hay muchas cosas de la RG que no conseguirás con la gravedad newtoniana, obviamente. Nunca vas a conseguir que los relojes se ralenticen a partir de las ecuaciones de la gravedad newtoniana.