¿Cómo Lambert W comportan cerca ∞?

Question

¿Cómo se $W$ se comportan cerca de $+\infty$ en comparación con $\log$? En particular, estoy interesado en la expansión asintótica de

$$\frac{W(x)}{\ln(x)}$$

cerca de $\infty$ (pero a lo largo de la real positiva de la línea, si lo que importa). Claramente $W(x)\sim\ln(x)$ $x$ aumenta, y el siguiente término se ve hiperbólica.

Answer 1

De acuerdo con el Teorema 2.7 de este documento, para cada $x \geq e$, $$ \log x - \log \log x + \frac{1}{2}\frac{{\log \log x}}{{\log x}} \le W(x) \le \log x - \log \log x + \frac{e}{{e - 1}}\frac{{\log \log x}}{{\log x}} $$ (con la igualdad sólo para $x=e$). Tenga en cuenta que $\frac{e}{{e - 1}} \approx 1.582$.

EDICIÓN (cf. Juan de la respuesta). Según Wolfram MathWorld, un asintótica fórmula que da resultados razonablemente precisos para suficientemente grande $x$ es $$ W(x) = L_1 - L_2 + \frac{{L_2 }}{{L_1 }} + \frac{{L_2 ( - 2 + L_2 )}}{{2L_1^2 }} + \frac{{L_2 (6 - 9L_2 + 2L_2^2 )}}{{6L_1^3 }} $$ $$ + \frac{{L_2 ( - 12 + 36L_2 - 22L_2^2 + 3L_2^3 )}}{{12L_1^4 }} + \frac{{L_2 (60 - 300L_2 + 350L_2^2 - 125L_2^3 + 12L_2^4 )}}{{60L_1^5 }} + O\bigg[\bigg(\frac{{L_2 }}{{L_1 }}\bigg)^6 \bigg], $$ donde $$ L_1 = \log x $$ $$ L_2 = \log \log x. $$ Referencias útiles se pueden encontrar en este enlace.

Answer 2

Uno de los papeles originales por Corless et al. en la función de Lambert da la siguiente expansión de la serie en $\infty$ el (rama principal de la) Lambert función:

$$W_0(z)=\ln\;z-\ln\ln\;z+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{-1}{\ln\;z}\right)^n \sum_{m=1}^n (-1)^m \left[n\atop{n-m+1}\right]\frac{(\ln\ln\;z)^m}{m!}$$

donde $\left[n\atop m\right]$ es un ciclo de Stirling número.

Answer 3

Este programa Mathematica toma un tiempo para evaluar:

Clear[x, a, nn, b, z]
nn = 200;
z = 100
a = Series[Exp[-x], {x, N[Log[z], 500], nn}];
b = Normal[InverseSeries[Series[x/a, {x, 0, nn}]]];
x = z;
N[b, 20]
N[LambertW[x], 30]

Parece dar LambertW(100) = 3.3856301402900501849... pero utiliza 200 términos de potencia de la serie de Exp[-x] expandido en el Registro[100] para llegar allí.