¿Por qué la gráfica de $e^{1/z}$ mirada como un dipolo?

Question

Yo estaba buscando en la rueda de color del gráfico de $e^{1/z}$, y mi novia comentó que se veía como un dipolo. ¿Alguien tiene una explicación para eso, ¿por qué la geometría sería tan similares? Supongo que como nos siga por ejemplo, el color rojo de la izquierda como hacia arriba, y luego de vuelta hacia el lado derecho, estamos trazando rayos hacia el exterior desde el origen en $\mathbb{C}$.

Answer 1

Esta respuesta es en respuesta a Marvis (un.k.una. "Por favor, elimine la cuenta") de respuesta, lo que sugiere que el dipolo-como el comportamiento de $e^{1/z}$ y $e^{1/z^2}$ es debido a la semejanza de $1/z^2$, pero mirando el color del gráfico de $1/z^2$ que sugiere que este no es el caso.

El gradiente de campo de un dipolo es de $$E=\left(\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2},\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}\right)=\frac1{z^2}$$ (que expresan las dos variables reales como real y la parte imaginaria de una sola variable compleja). Estamos interesados en una función que aumenta en magnitud a lo largo de las líneas de campo, es decir, $f'(z)/f(z)$ es proporcional al gradiente de campo. (Tenga en cuenta que la observación original era que los cambios de color al pasar de una línea a otra, y las bandas de color de seguir las líneas de campo. La única manera para que una analítica de la función es la magnitud, pero no en la fase, a cambio de que siga las líneas de campo.) Por lo tanto, tenemos la siguiente ecuación diferencial:

$$\frac{f'(z)}{f(z)}=\frac d{dx}\log f(x)=\frac c{z^2}\Rightarrow\log f(x)=-\frac cz\Rightarrow f(x)=Ae^{-c/z},$$

y el post original fue de $A=-c=1$. Así vemos que no es cualquier función, pero precisamente la función $e^{1/z}$ que se parece a un dipolo en el color de la trama. (De hecho, $e^{1/z^2}$ se ve mucho más como un cuadrupolo, por la misma razón.)

Answer 2

Aquí está la rueda de color del gráfico de la función exponencial de la Wikipedia. Observe que las líneas horizontales han "color constante", Cada una de estas líneas puede ser escrito $t + bi$, donde $b$ es fijo y $t$ va desde $-\infty$ $+\infty$. Observa que la constante de líneas de color para $e^\frac{1}{z}$ son pequeños arcos. Esto es sólo una consecuencia del hecho de que el mapa de $z \mapsto \frac{1}{z}$ giros de las líneas horizontales en los arcos. Incluso se puede ver en la imagen cómo el "lado izquierdo" de que el avión se asigna a la izquierda de 0, y el "tamaño correcto" de que el avión se asignan a la derecha de cero. El punto en $\infty$ se asigna a 0. Por lo que realmente debería pensar en esto como una imagen de lo que $\frac{1}{z}$ está haciendo.