Axiomas espectrales de limitación para el complejo de Rham

Question

En los axiomas de Connes para un triplete espectral $(A,H,D)$ tienen una representación de un álgebra $A$ en operadores acotados en un espacio de Hilbert $H$ y el operador (no limitado) $D$ , de tal manera que $[D,a]$ está acotado. Uno de los ejemplos clásicos de motivación es el operador de Dirac--de Rham D:= d + d $^*$ en el complejo de Rham de una variedad riemanniana. ¿Está claro que los dos axiomas de acotación discutidos por mí se satisfacen realmente?

Perdón si es una pregunta demasiado básica, para mí es un material bastante nuevo.

Answer 1

Sí y sí. Para fijar la notación, lo que estamos tratando es el triple espectral conmutativo $(C^\infty(X),L^2(X,\wedge T^\ast X),d+d^\ast)$ , donde $(X,g)$ es una variedad riemanniana orientada y compacta. Recordemos, en particular, que $\wedge T^\ast X$ es un haz vectorial hermitiano con métrica hermitiana $(\cdot,\cdot)$ inducida por la métrica de Riemann $g$ para que el producto interior sobre $L^2(X,\wedge T^\ast X)$ es $$\langle \xi,\eta \rangle := \int_X (\xi,\eta) \,\mathrm{dVol}_g.$$

1. Dado que la variedad subyacente es compacta, cualquier función continua sobre $X$ está acotado, por lo que para cualquier $f \in C^\infty(X)$ y $\xi \in L^2(X,\wedge T^\ast X)$ , $$\|f \xi \|^2 = \int_X (f \xi,f\xi) \,\mathrm{dVol}_g = \int_X \lvert f\rvert^2 (\xi,\xi) \,\mathrm{dVol}_g \leq \| \lvert f \rvert^2 \|_\infty \int_X (\xi,\xi) \,\mathrm{dVol}_g = \|f\|_\infty^2 \|\xi\|^2,$$ lo que demuestra que la multiplicación por $f \in C^\infty(X)$ está acotado con la norma del operador $\|f\| \leq \|f\|_\infty$ . De forma más general, se puede demostrar que cualquier endomorfismo de haz $E$ de $\wedge T^\ast X$ define un operador acotado $E : L^2(X,\wedge T^\ast X) \to L^2(X,\wedge T^\ast X)$ con la norma del operador $$\|E\| \leq \left\|x \mapsto \|E_x\| \right\|_\infty,$$ où $\|E_x\|$ denota la norma del operador lineal $E_x$ en el espacio de producto interno de dimensión finita $\wedge T^\ast_x X$ de mi cabeza, utilizar la compacidad de $X$ y su partición favorita de la unidad para tratar $E$ como una mera función matricial.

2. Ahora, dejemos que $f \in C^\infty(X)$ , dejemos que $\xi$ , $\eta \in C^\infty(X,\wedge T^\ast X)$ . Mediante un cálculo sencillo, se puede demostrar que $$\langle \xi, [d+d^\ast,f]\eta \rangle = \langle \xi, df \wedge \eta \rangle + \langle d\overline{f} \wedge \xi, \eta \rangle.$$ De ello se deduce que para todo $g \in C^\infty(X)$ y $\xi$ , $\eta \in C^\infty(X,\wedge T^\ast X)$ , $$\langle \xi, [d+d^\ast, f]g\eta \rangle = \langle \xi, df \wedge g\eta \rangle + \langle d\overline{f} \wedge \xi, g \eta \rangle = \langle \overline{g} \xi, df \wedge \eta \rangle + \langle d\overline{f} \wedge \overline{g}\xi,\eta \rangle\\ = \langle \overline{g}\xi,[d+d^\ast,f]\eta \rangle = \langle \xi,g[d+d^\ast,f]\eta \rangle,$$ para que $[d+d^\ast,f]$ es $C^\infty(X)$ -lineal en $C^\infty(X,\wedge T^\ast X)$ es decir, $[d+d^\ast,f]$ es un endomorfismo de haz de $\wedge T^\ast X$ . Por lo tanto, podemos aplicar 1. para concluir que $[d+d^\ast,f]$ está acotado. Cabe destacar que el hecho de que $[d+d^\ast,f]$ es un endomorfismo del haz es sólo otra forma de decir que $d+d^\ast$ es un operador diferencial de primer orden.