Cuadrado de la función de distancia en una variedad riemanniana

Question

Dejemos que $(M^n,g)$ sea una variedad suave de Riemann. Consideremos el cuadrado de la función de distancia $$dist^2\colon M\times M\to \mathbb{R}$$ dado por $(x,y)\mapsto dist^2(x,y)$ . Es fácil ver que esta función es infinitamente suave cerca de la diagonal.

Ahora fija un punto $a\in M$ . Consideremos la serie de Taylor de $dist^2$ en $(a,a)$ en algún sistema de coordenadas (digamos normal). ¿Se pueden calcular explícitamente sus coeficientes hasta el tercer orden?

Answer 1

Fijar un punto $x_0 \in M$ . Entonces dejemos que $x = \exp_{x_0}(t v)$ y $y=\exp_{x_0}(t w)$ con $v,w \in T_{x_0}M$ .

Entonces tenemos la siguiente fórmula para la distancia al cuadrado entre dos geodésicas que emanan de $x_0$

$$ d^2(\exp_{x_0}(t v),\exp_{x_0}(t w)) = |v-w|^2t^2-\frac{1}{3}R(v,w,w,v) t^4 + O(t^5)$$

donde $R$ es el tensor de curvatura de Riemann. A partir de aquí se puede derivar una expresión en la que se siguen las dos geodésicas para tiempos diferentes (sólo hay que reescalar $w \to s/t w$ ), es decir

$$ d^2(\exp_{x_0}(t v),\exp_{x_0}(s w)) = |v|^2t^2 +|w|s^2 -2 g(v,w) ts -\frac{1}{3}R(v,w,w,v) s^2 t^2 + O(|t^2+s^2|^{5/2})$$

Toma ahora $|v| = |w|=1$ entonces $(t,v)$ y $(s,w)$ (ambos $\in [0,\epsilon) \times \mathbb{S}_{x_0}^{n-1}$ ) son coordenadas polares de $x,y$ . Más explícitamente, el establecimiento de $t = d(x_0,x)$ y $s = d(x_0,y)$ , usted tiene

$$ d^2(x,y) = t^2 + s^2 - 2\cos\theta t s - \tfrac{1}{3} K_\sigma (1-\cos\theta^2)t^2 s^2 + O(|t^2+s^2|^{5/2})$$

où $\cos\theta = g(v,w)$ es el ángulo entre los dos vectores y $K_\sigma$ es la curvatura de la sección del plano $\sigma = \mathrm{span}(v,w)$ .

Como se puede ver, esto se puede utilizar efectivamente como una definición puramente métrica de la curvatura seccional, sin conexión o derivada covariante alguna.

Answer 2

La función $dist^2$ satisface una ecuación de Hamilton-Jacobi. Usando esto se puede encontrar su expansión de Taylor en $(a,a)$ hasta cualquier orden. En el Apéndice A de este documento Utilizo este enfoque para encontrar la expansión de Taylor de grado 4 de esta función; véase la Ec. (A.17) en el documento. El procedimiento utilizado en este apéndice puede utilizarse para encontrar el grado $6$ también, aunque las fórmulas se vuelven cada vez más complicadas. Debo mencionar que este enfoque también se utiliza en

B. DeWitt: The Global Approach to Quantum Field Theory, Oxford University Press, 2003,

páginas 281-282, aunque la notación de los físicos puede ser un poco difícil de seguir.