Demuestre que la serie $∑_{m=1}^{∞}(r^{-m}/(2^{m}-1))$ es convergente para algún entero positivo $r>0$

Question

El Constante Erds-Borwein se puede encontrar en http://mathworld.wolfram.com/Erdos-BorweinConstant.html

Mi pregunta es : Demostrar que la serie $$_{m=1}^{}r^{-m}/(2^{m}-1)$$ es convergente para algún entero positivo $r>0$ .

Answer 1

Si $r \geq 1$ $$\frac{r^{-m}}{2^{m}-1}=\frac{1}{r^{m}(2^{m}-1)} \leq \frac{1}{(2^{m}-1)} \leq \frac{1}{(2^{m}-2^{m-1})}= \frac{1}{2^{m-1}} $$