¿Es el anillo cero un dominio?

Question

¿Se suele considerar el anillo cero como un dominio o no? Wikipedia dice:

• El anillo cero no es un dominio integral; esto concuerda con el hecho de que su ideal cero no es primo. Que el anillo cero se considere un dominio es una cuestión de convención, pero hay dos ventajas en considerar que no es un dominio. En primer lugar, esto concuerda con la definición de que un dominio es un anillo en el que $0$ es el único divisor cero (en particular, $0$ se requiere que sea un divisor cero, lo que falla en el anillo cero). En segundo lugar, de esta manera, para un entero positivo $n$ el anillo $\Bbb Z/n\Bbb Z$ es un dominio si y sólo si n es primo.

¿Cuáles son los argumentos a favor/en contra de esta convención (además de los mencionados anteriormente)? ¿Qué dice la literatura (es decir, tus libros de texto favoritos) sobre este asunto? Tenga en cuenta que me refiero específicamente a dominios no dominios integrales la única diferencia entre ellos, aparte de la suposición de no trivialidad mencionada aquí, es que no se requiere que los dominios sean conmutativos.

Answer 1

¿Se suele considerar el anillo cero como un dominio o no?

Casi todos los textos de teoría del anillo dicen que no lo es. Apuesto a que adivinar que el 90% de los textos están de acuerdo con esto es una suposición conservadora.

Lo principal es lo que la primera frase que has citado intenta decir (pero no lo hace bien): queremos decir que $R/P$ es un anillo primo si y sólo si $P$ es un ideal primo. (Para anillos no conmutativos, esto se convierte en $R/P$ es un dominio si y sólo si $P$ es un ideal completamente primo , es decir, uno que satisfaga la definición conmutativa de "primo". Esto no importa mucho para la siguiente discusión).

¿Qué dice la literatura (es decir, sus libros de texto favoritos) sobre este asunto?

Si $\{0\}$ se considerara un dominio, entonces $R/R$ sería un dominio para cualquier anillo $R$ para que $R$ es un ideal primario de sí mismo. Esto está (en todas las referencias que conozco) explícitamente descartado por la definición de un ideal primo. Por supuesto, se puede objetar que se trata de una pregunta equivalente ("¿por qué no se puede considerar todo el anillo como un ideal primo?")

Una discusión muy similar tuvo lugar aquí donde alguien preguntó por qué el anillo cero no se consideraba un campo. El argumento que di allí se aplica bastante bien en esta situación también. Nuestra intuición de que los primos son "indecomponibles" nos lleva a la idea de que un anillo primo no debería descomponerse en otros anillos. Ciertamente, descomponer un anillo primo en un producto de múltiples anillos primos sería poco atractivo. Pero si se deja $R=\{0\}$ sea un anillo primo, entonces $R\cong\prod_{i\in I} R$ o cualquier conjunto de índices no vacío que desee.

En particular, si dejamos que $\{0\}$ se llame dominio, entonces tendríamos un dominio que es isomorfo a infinitas copias de sí mismo, lo que ciertamente parece un comportamiento pobre para un dominio.

Answer 2

Me gustaría que los dominios tuvieran campos de fracciones. Las fracciones son clases de equivalencia de pares ordenados $(p,q)$ donde $q \neq 0$ . Dado que todos los elementos del anillo cero son cero, no hay tales pares y se deduce que el "campo de fracciones" debe ser el conjunto vacío. Pero el conjunto vacío no es un campo (no contiene $0$ ou $1$ .)