¿Es cierto que podríamos encontrar una función polinómica para el bezier cúbico continuo, y cómo?

Question

Supongamos que tengo 3 curvas cúbicas de Bézier a,b,c. Cada una de ellas es continua de a a b y b a c en el punto final de la anterior y en el punto inicial de la siguiente, tanto en posición como en tangente. Es una curva suave

Entonces esas 3 curvas de repente parecen ser en realidad un polinomio de algún grado

¿Siempre ha sido una curva polinómica? Y si es así, ¿hay alguna manera fácil de encontrar una función polinómica fusionada a partir de esas 3 funciones cúbicas, o cualquier número de funciones cúbicas fusionadas de esta manera?

Answer 1

No.

El primer punto se rige por los puntos $a,u,v,b$ el segundo por $b,w,x,c$ . Las tangentes en $b$ coinciden si $w-b=b-v$ (o posiblemente con un factor escalar positivo espolvoreado). Por lo demás, todos los puntos son "libres". Eso simplemente nos da demasiados grados de libertad para tener una única cúbica combinada, y un polinomio de mayor grado no funcionará porque el grado es detectable localmente dentro de las dos curvas parciales (viendo que todas las derivadas suficientemente altas desaparecen)

Answer 2

No. Dos polinomios diferentes sólo pueden coincidir en un número finito de puntos (y este número no puede superar el grado máximo).

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Normalmente, los Beziers que son continuos con tangente continua tienen una curvatura discontinua. Esto se evita en las curvas spline cúbicas. Pero la derivada de su curvatura es discontinua.

Answer 3

Vamos a tratar el caso de dos curvas, $A$ y $B$ .

Puede que sea posible representar la curva combinada como una sola cúbica, o puede que no. Si $A$ y $B$ fueron diseñados de forma independiente, es muy poco probable que se puedan unir de esta forma. Pero algunos sistemas de diseño tienen una función para dividir una curva en varios trozos, y si $A$ y $B$ se produjeron por este tipo de proceso de división, entonces se ser posible volver a unirlos en un solo cubo.

Si la curva unida no puede representarse como una sola cúbica, entonces tampoco puede representarse por una sola curva polinómica de grado superior. En otras palabras, aumentar el grado no ayuda.

Su pregunta era "¿es posible unirse siempre?". La respuesta es no.

Una pregunta relacionada podría ser "¿es posible a veces?". La respuesta es sí.

No sé si te interesa la pregunta "a veces". Si lo estás, deja un comentario y te daré más detalles.

Hay varios enfoques para la cuestión de "a veces". Una técnica sencilla consiste en calcular las derivadas de órdenes uno, dos y tres de cada curva en el punto final común. Si estas derivadas son todas iguales, entonces las dos cúbicas son iguales y pueden unirse en una sola. No basta con tener la misma tangente o la misma primera derivada.