Relación entre las diferentes versiones de la AC en el contexto de un conjunto específico (en ZF)

Question

Podemos demostrar que varias versiones de la AC, restringido a un conjunto específico son equivalentes. Por ejemplo, los siguientes son equivalentes para cualquier conjunto, $X$ (en ZF):

• [ $A_X$ ] $X$ es bien ordenable
• [ $B_X$ ] Toda colección de subconjuntos no vacíos de $X$ tiene una función de elección

Del mismo modo, las siguientes afirmaciones también son equivalentes para cualquier conjunto, $Z$ (en ZF):

• [ $C_Z$ ] Cada partición de $Z$ tiene un conjunto de representantes
• [ $D_Z$ ] $\forall Y$ toda suryectiva $f:Z\rightarrow Y$ tiene un inverso derecho

Por otro lado, $C_X$ , $D_X$ son estrictamente más débiles que $A_X$ , $B_X$ (ver este respuesta de Asaf Karagila). Mi pregunta es si $A_X$ equivale a $C_{F(X)}$ para alguna función de clase definible, $F$ (es decir $ZF\models \forall X(A_X\leftrightarrow C_{F(X)}$ ).

Tenía la esperanza de que dejar $F(X)=\mathcal{P}(X)$ funcionaría... pero ahora sospecho que no es así. Además, creo que puedo demostrar que $C_{P(X)\times X}$ implica $A_X$ pero no sé si lo contrario es cierto.

En términos más generales, sólo estoy interesado en comprender los puntos fuertes relativos de estas variantes "localizadas" de la AC (aunque la respuesta no sea tan agradable como esperaba). Gracias por cualquier idea de antemano.

Answer 1

Este es un tema fascinante, y hay mucho espacio para explorar aquí. Después de aprender las pocas pruebas básicas y los contraejemplos, uno debería ser capaz de llenar muchos vacíos.

Es cierto que $C_{\mathcal P(X)\times X}$ implica $A_X$ . Simplemente porque implica $B_X$ . Basta con considerar la partición de $\mathcal P(X)\times X$ definido por: $\{\{(A, a)\mid a\in A\}\mid A\in\mathcal P(X)\}$ junto con el resto del conjunto. Claramente, una función de elección de esto es exactamente una función de elección que atestigua $B_X$ .

En la otra dirección, tienes razón al pensar que la implicación puede fallar. Por ejemplo, es posible que $\Bbb R$ , sustituyendo a $\mathcal P(\Bbb N)$ La propiedad de la suryección es que puede ser mapeada en ciertos conjuntos, pero no hay inyecciones en la otra dirección (¡y mucho menos funciones inversas para la suryección!). Y si cualquier conjunto puede ser bien ordenado, $\Bbb N$ es ese conjunto.

Tenga en cuenta que como $\Bbb R$ es del mismo tamaño que $\Bbb{R\times N}$ y todos los principios locales que sugieres dependen de la cardinalidad, y no del conjunto exacto, el resultado es el siguiente.