En primer lugar, un nudo en $R^3$ es manso si es isotópico a un nudo poligonal. Esto no es lo mismo que decir que el propio nudo es poligonal. He consultado varios libros sobre teoría de nudos (Crowell y Fox; Lickorish; Kauffman; Manturov; Murasugi) y desde el principio, después de discutir brevemente los nudos salvajes, todos ellos suponen que los nudos son $C^1$ -suave o PL (piecolineal o poligonal). El libro de Rolfsen es la única excepción: Primero discute los nudos topológicos y sólo después de la página 60 impone la condición de PL al introducir las "imágenes de nudos". Literalmente, nadie discute los diagramas de nudos para los nudos topológicos, así que no estoy seguro de cuál es su fuente. (Como regla general, no hay que confiar en que Wikipedia tenga suficiente rigor en estos temas). Por lo tanto, no es de extrañar que, cuando se habla de los movimientos de Reidemeister (MR), nadie mencione estas condiciones de poligonalidad/suavidad: Se asumen por defecto.
Aquí se presenta una definición formal de los diagramas de nudos para los nudos topológicos en $R^3$ ; sigo el tratamiento de Manturov (V. Manturov, "Knot Theory") como el más cuidadoso, pero lo extiendo al caso de los nudos topológicos.
Dejemos que $f: S^1\to R^3$ sea una incrustación topológica (un nudo topológico $K$ ) y que $P\subset R^3$ sea un plano coorientado: Toda línea ortogonal a $P$ viene equipado con una orientación. Deje que $\pi=\pi_P: R^3\to P$ denotan la proyección ortogonal. Establezca $g:= \pi\circ f: S^1\to P$ .
Diremos que $K$ es regular con respecto a $P$ si se cumplen las siguientes condiciones:
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Por cada $p\in P$ , $g^{-1}(p)$ consiste en un máximo de dos puntos. Definir el subconjunto $T\subset S^1$ que se compone de los $t\in S^1$ para lo cual $g^{-1}(p)$ tiene cardinalidad $2$ . Este es el subconjunto de "puntos dobles" de la auto-intersección del mapa $g$ .
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El subconjunto $T$ es finito. En particular, para cada $t\in T$ existe un pequeño arco $\alpha_t\subset S^1$ , un vecindario de $t$ , de tal manera que $g$ restringido a $\alpha_t$ es 1-1.
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Para dos casos distintos $t_1, t_2\in T$ las restricciones $g|_{\alpha_{t_1}}, g|_{\alpha_{t_2}}$ son topológicamente transversales entre sí. (En el contexto de los nudos poligonales esto se suele expresar mediante el requisito de que ningún vértice de un nudo poligonal se proyecte a un punto doble del diagrama del nudo). No definiré la transversalidad topológica (intuitivamente, un arco topológico en $R^2$ se encuentra en "ambos lados" del otro), pero es fundamental para la definición de los MR en los diagramas de nudos.
Una observación clave es que si $f(S^1)$ es suave o poligonal, entonces $K$ es regular con respecto a un plano "genérico" $P$ . Sin embargo, esto es bastante falso para los nudos topológicos generales (¡incluso para los triviales!). Un buen ejemplo para pensar es un nudo cuya proyección $g$ es una curva que llena el espacio en el plano $P$ .
El siguiente lema es un agradable ejercicio de teoría de nudos:
Lema. Si $K$ es un nudo regular respecto a un plano $P$ entonces $K$ es manso.
Me salto la demostración y sólo observo que para la demostración sólo se necesitan las hipótesis 1 y 2; además, la 1 puede sustituirse por la condición más débil de que $g^{-1}(p)$ es finito para cada $p\in P$ .
Ahora, dado esto, define el diagrama de nudos $D_{K,P}$ del nudo $K$ regular con respecto a $P$ como los siguientes datos:
(a) La composición $g=\pi\circ f: S^1\to P$ .
(b) Una función $c: T\to \{o, u\}$ con valores en el conjunto de 2 elementos $\{o, u\}$ que registra los cruces "por encima" y "por debajo" del nudo $K$ con respecto a $P$ . Para cada $t_1\in T$ , dejemos que $g^{-1}(g(t_1))=\{t_1, t_2\}$ . Si $f(t_1)> f(t_2)$ en la línea orientada que pasa por estos dos puntos, entonces $c(t_1)=o$ (el punto $f(t_1)$ es "más" $f(t_2)$ ) y $c(t_1)=u$ por lo demás. En particular, $c(\{t_1, t_2\})=\{o, u\}$ .
Esta información de más/menos se suele registrar haciendo una pequeña pausa en $g(t_2)$ al dibujar el arco "bajo" $g(\alpha_{t_2})$ , siempre que $c(t_2)=u$ .
Así, un diagrama de nudos es mucho más que la composición $g: S^1\to P$ . La propiedad clave de un diagrama de nudos es que, a diferencia de $g$ solo, el diagrama $D_{K,P}$ determina la clase de isotopía de $K$ en $R^3$ .
Se puede intentar definir análogos de los diagramas de nudos para los nudos topológicos generales (sin el supuesto de regularidad: Registrando la ordenación total de las preimágenes de los puntos bajo $g$ determinado por las orientaciones en las líneas ortogonales a $P$ ). No sé para qué serviría esto y si se puede demostrar algo utilizándolo. Tampoco sé cómo definir los MR sin el supuesto de regularidad. Decir que son "lo mismo" que en el caso poligonal no tiene sentido. Por lo tanto, su petición de una prueba del teorema de Reidemeister para los nudos salvajes es inútil, ya que ni siquiera está claro cómo definir los diagramas de nudos y los MR en este contexto. (Por el lema anterior, la regularidad implica la docilidad).
