El problema
Considere la cadena de envejecimiento en $\{0, 1, 2, \dots\}$ en el que para cualquier $n \geq 0$ el individuo envejece 1 día desde $n$ a $n+1$ con probabilidad $p_n$ pero muere y vuelve a la edad 0 con probabilidad $1 - p_n$ . Encuentre las condiciones en el $p_n$ que lo garantizan:
(a) 0 es recurrente
Mi trabajo
Consideraremos primero el espacio de estado finito $\mathcal{S} = \{0,1,2,\dots,N\}$ . En este espacio de estados finito, tenemos irreducibilidad y aperiodicidad, por lo que $\rho_{x0} + \rho_{xN} > 0$ para todos $ x \in C = \cal S - \{0,N\}$ . Así que $p(i, i+1) = p_i, p(i, 0) = 1 - p_i$ . Y para $h(0) = 0, h(N) = 1$ tenemos \begin{align*} h_N(N - 1) &= p_{N-1} \\ h_N(N-1) &= p_{N-2}p_{N-1} \\ & \vdots \\ h_N(1) &= p_1p_2\cdots p_{N-1} = {\bf P}_1(T_N < T_1) \\ {\bf P}_0(T_0 < T_N) &= p_0(1 - h_N(1)) + (1 - p_0) \\ \xrightarrow{N \to \infty} {\bf P}_0(T_0 < \infty) &= 1 \iff \lim_{N \to \infty}h_N(1) = 0 \end{align*} Así, para que $ {\bf P}_x(T_0 < \infty) = 1 $ requerimos que $\prod_{i=1}^\infty p_i = 0$ , en palabras: que el producto infinito va a 0.
(b) 0 es recurrente positivo
Mi trabajo
Para que 0 sea recurrente positivo, necesitamos ${\bf E}_0T_0 < \infty$ , donde ${\bf E}_0T_0$ es el tiempo esperado de la primera vuelta a 0. Así que dejemos que $\cal S = \{0,1,2, \dots, N\}$ , dejemos que $C = S - A, A = \{0,N\}$ , y establecer $g(a) = 0 \ \forall a \in A$ . {\color{rojo} Así que los cálculos son} \begin{align*} {\bf E}_0T_0 &= \sum_{k = 0}^\infty k {\bf P}(T_0 = k) \\ &= \sum_{k=0}^\infty k \prod_{i=0}^{k-1} p_i(1 - p_k) \end{align*}
Mi pregunta
Estoy atascado mostrando una recurrencia positiva. Tampoco estoy seguro de cómo calcular ${\bf E}_0T_0$ "directamente" como me han aconsejado para un problema de este tipo.
E incluso si mostrara una recurrencia positiva (lo que implicaría la existencia de una distribución estacionaria $\pi$ ¿Cómo puedo encontrar $\pi(0)$ ?
Gracias por cualquier ayuda.
