Si $(G,+,<)$ es un grupo conmutativo, totalmente ordenado y denso se puede demostrar que para cada $x>0$ existe $y>0$ tal que $y+y\le x$ . De hecho por densidad existe $z$ tal que $0<z<x$ entonces $z+z \le x$ (y ya está) o $z+z>x$ . En este último caso tomamos $(x-z)$ y con la conmutatividad podemos demostrar que $(x-z)+(x-z)< x$ .
¿Y si $G$ no es conmutativo? ¿Es posible demostrar lo mismo?
Con esta propiedad y añadiendo la completitud se puede demostrar que el grupo es divisible (para cada $x\in G$ y $n\in \mathbb N$ existe $y$ tal que $ny=x$ ). Por tanto, si el grupo tampoco es trivial tiene un subgrupo isomorfo a $\mathbb Q$ y, por completitud, es realmente isomorfo a $\mathbb R$ .
Así que una segunda pregunta es si existe un grupo no conmutativo, totalmente ordenado, denso y completo.
