La construcción es esencialmente: empezar con un circuito correspondiente a un triángulo en $K_5$ . Este circuito está representado por una línea con 3 puntos en ella. Elige ahora un segundo circuito triangular que comparta una arista con el primer circuito. En la representación, la línea correspondiente se cruza con la línea que representa el primer circuito. Pero ahora tienes 4 puntos adicionales que a su vez se encuentran en otros circuitos. Encuentra estos circuitos, dibuja sus líneas y añade los puntos de intersección.
Te sugiero que sigas la construcción con un software de dibujo como Cinderella.2 o GeoGebra.
Los triángulos en $K_5$ son circuitos (pero no todos los circuitos son triángulos), por lo que los puntos correspondientes en la representación deben estar en las mismas líneas. Hay 10 triángulos en $K_5$ , por lo que hay $10$ líneas en la representación.
Que los vértices de $K_5$ ser etiquetados por $\{1,2,3,4,5\}$ en sentido contrario a las agujas del reloj.
Podemos empezar con un circuito triangular, por ejemplo $\{12,23,13\}$ . Estos corresponden a tres puntos $p_{12}$ , $p_{23}$ , $p_{13}$ en la misma línea, llámalo $l_1$ .
El punto $p_{12}$ se encuentra en tres líneas más, correspondientes a los circuitos $\{12,25,15\}$ y $\{12,24,14\}$ . Sea $l_2$ sea la línea con los puntos $p_{12}$ , $p_{25}$ , $p_{15}$ .
Ahora tenemos que comprobar las dependencias entre los puntos de $l_1$ y $l_2$ . Los bordes $23$ y $25$ pertenecen al circuito $\{23,25,35\}$ y $13$ y $15$ pertenecen al circuito $\{13,15,35\}$ . Por lo tanto, tenemos que introducir un nuevo punto $p_{35}$ como la intersección de las dos líneas $l_3=\{13,15,35\}$ y $l_4=\{23,25,35\}$ .
Hasta ahora no hemos dejado el avión ya que no se puede encontrar ninguna base en $\{12,13,15,23,25,35\}$ .
Todavía no hemos agotado todas las líneas a través de $p_{12}$ Así pues, dejemos que $l_5=\{12,24,14\}$ . Esta línea no pasa por ninguno de los vértices actuales, excepto obviamente $p_{12}$ . Además, el tetraedro $\{12,13,15,14\}$ no es plana porque es una base, es decir, corresponde a un árbol de expansión de $K_5$ Así que con esta línea nos estamos moviendo hacia $\mathbb R^3$ .
Hasta ahora tenemos 8 puntos. Nos faltan los puntos $p_{34}$ y $p_{45}$ . El punto $p_{45}$ está en la intersección de las líneas definidas por los circuitos $\{14,15,45\}$ y $\{24,25,45\}$ Así que añadimos las líneas $l_6=\{14,15\}$ y $l_7=\{24,25\}$ con $p_{45}$ como su intersección.
Del mismo modo, el punto $p_{34}$ está en la intersección de las líneas definidas por los circuitos $\{13,14,34\}$ y $\{23,24,34\}$ Así que añadimos las líneas $l_8=\{13,14\}$ y $l_9=\{23,24\}$ con $p_{35}$ como su intersección.
Así que tenemos 10 puntos en la representación pero sólo 9 líneas. La línea que falta es $l_{10}$ correspondiente al circuito $\{34,35,45\}$ . Que esto es en realidad una línea en $\mathbb R^3$ está garantizado por el teorema de Desargues.
